ΔABC 中，AB＜AC，内切圆与 BC,CA 切于 E,F。EF 与 ∠A 平分线交于 G。求证：BG⊥AD

ccmmjj

如图：三角形ABC中，AB<AC.AD是角平分线，内切圆切BC、CA分别为E，F。EF交AD于G。
求证：BG垂直于AD。

王守恩

我来试试(借着此题还是想推销 “利用三角函数解题”)
设圆心为O，连接OB,OE,OC,OF
1，先找角度。
∠OCA=∠OCB=∠OEF=∠OFE=a
∠OBA=∠OBC=∠OGF=a+b
∠OAB=∠OAC=90-2a-b
2，再找长度。
OE=OF=sina,CE=CF=cosa
OE=sin(a+b)sina/sin(a+b)
OB=sina/sin(a+b)
OF=sin(a+b)sina/sin(a+b)
OG=sinasina/sin(a+b)
3，答案自动就来了。
(BG)^2=(OB)^2+(OG)^2-2*(OB)*(OG)*cos∠BOG
=(sina/sin(a+b))^2+(sinasina/sin(a+b))^2-2*(sina/sin(a+b))*(sinasina/sin(a+b))*sina
=(sina/sin(a+b))^2+(sinasina/sin(a+b))^2-2(sinasina/sin(a+b))^2
=(sina/sin(a+b))^2-(sinasina/sin(a+b))^2
=(OB)^2-(OG)^2

denglongshan

证明：假设内切圆圆心与原点重合，半径是单位圆，可以求出对应直线的方程和交点表达式如下，对于旁心也成立。
AO:z-dfz'=0
EF:z+efz'=e+f
可以求出h=d(e+f)/(e+d)
h-b=d(e+f)/(e+d)-2de/(e+d)=d(f-e)/(e+d)
h'-b'=(e-f)/[f(e+d)]
(h-b)/(h'-b')=-df
显然，直线AO的复斜率是df,所以BH垂直AO。

ccmmjj

用纯几何法做这个题目，只要用到一个定理，叫做卜里安桑定理的推论，就可以了，如下图

现在回到原题，如下图

将ABD沿AD对称到AD‘D 。四边形ABDD’就是圆外切四边形，于是对角线和对边切点连线共点。即G点为对角线BD‘上的点。又B、D’关于AD对称，所以BD‘垂直于AD，即BG垂直AD得证！