该如何理解泛函分析中“抽象函数”这个概念呢？

fm1134

luyuanhong

书上这个定义说得很清楚，“抽象函数”是“数到赋范线性空间的一个映射”，这应该没有什么疑问。
你的疑问在于书上的例子，其实，书上的这个例子没有什么错。
固然，在泛函分析中“赋范线性空间”常常用函数集合作为例子，但是，“赋范线性空间”并不一定是
函数空间。实际上，一个数的集合，定义了这个集合上的加法和数乘运算以及这个集合上的范数，只要
符合定义的几条规则，也可以构成赋范线性空间。
例如，书上例子中的 R^2 空间，即实数 2 维向量空间，定义它的运算是普通的 2 维向量的加法和数乘，
再定义它的范数是 2 维向量的模长，容易验证，这样定义的运算和范数都符合赋范线性空间的规则，所以
R^2 空间，即实数 2 维向量空间，就是一个标准的赋范线性空间。

fm1134

下面引用由luyuanhong在 2013/12/17 10:20am 发表的内容：
书上这个定义说得很清楚，“抽象函数”是“数到赋范线性空间的一个映射”，这应该没有什么疑问。
你的疑问在于书上的例子，其实，书上的这个例子没有什么错。
固然，在泛函分析中“赋范线性空间”常常用函数集合 ...

谢谢陆老师的解答！