“连乘积公式”比我们的想象更神奇、更美妙

志明

      通过运用“区域分析法”对逐步筛除过程中产生的误差分布情况进行分析，可知：在运用“连乘积公式”进行逐步筛除的过程中，除第一次筛除之外，后面的每一次筛除，“连乘积公式”自身具备对误差的调控功能都在发挥作用，每一次筛除都在对误差进行调控，每一次筛除所产生的误差，会把筛除之前分析区范围（从1至A/P）内的误差消除掉。由此可知：筛除之前分析区之外的范围（从A/P至A）内的累计误差，就是筛除之后总体的累计误差。
    在《运用“区域分析法”试证“哥猜公式”的误差率不会很高》
[http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D5一楼中有

第一筛产生的误差是正差1/7，筛后的累计误差也是正差1/7；
第二筛产生的误差是负差－3/7，筛后的累计误差是负差1/7+(－1/7)=－2/7；  
第三筛产生的误差是负差－10/21，筛后的累计误差是负差1/7+(－3/7)+(－10/21)=－16/21；
第四筛产生的误差是正差8/21，筛后的累计误差是负差1/7+(－3/7)+(－10/21)+8/21=－8/21

    并知：
   在第二筛之前，在分析区（从1至50/5）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数组数量的值是3又4/7，而实际数量是4，比公式计算值多3/7。因此，在分析区之外的范围（从50/5至50）内，实际数量会比公式计算值少3/7，即：误差是－3/7。因为在第二筛之前的总体误差是正差1/7，因此，在第二筛之前，在分析区之外的范围（从50/5至50）内的误差是（－3/7）+1/7=－2/7，与第二筛筛除之后的累计误差－2/7相符。

   在第三筛之前，在分析区（从1至50/3）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数组数量的值是9又11/21，而实际数量是10，比公式计算值多10/21。因此，在分析区之外的范围（从50/3至50）内，实际数量会比公式计算值少10/21，即：误差是－10/21。因为在第三筛之前的总体误差是负差－2/7，因此，在第三筛之前，在分析区之外的范围（从50/3至50）内的误差是（－10/21）+（－2/7）=－16/21，与第三筛筛除之后的累计误差－16/21相符。

   在第四筛之前，在分析区（从1至50/2）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数组数量的值是2又8/21，而实际数量是2，比公式计算值少8/21。因此，在分析区之外的范围（从50/2至50）内，实际数量会比公式计算值多8/21，即：误差是8/21。因为在第四筛之前的总体误差是－16/21，因此，在第四筛之前，在分析区之外的范围（从50/2至50）内的误差是8/21+（－16/21）=－8/21，与第四筛筛除之后的累计误差－8/21相符。

   因为筛除之前分析区之外的范围（从A/P至A）内的累计误差，就是筛除之后总体的累计误差。并知：最后的那次筛除，分析区之外的范围最小（从A/2至A），在从A/2至A这样较小范围内的误差，就是“连乘积公式”计算结果的误差。

   当偶数充分大时，素数的倍数和两个以上小于√A的素数的乘积倍数的分布会相对更加均衡。同理，历次筛除过程中形成的累计误差分布的均衡性也会相对更好。在这种情况下，经过多次筛除（实质是对误差的多次调控）之后，在分析区之外这样较小的范围（从A/2至A）内会能有多大的误差？这点误差对于只需证明存在一对素数对的哥猜会有影响吗？

志明

    在 [http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D5第10楼的《在偶数200的逐步筛除过程中看“哥猜公式”对误差的调控功能》中有
       
  第一筛产生的误差是正差5/13，筛后的累计误差也是正差5/13；
  第二筛产生的误差是正差5/13，筛后的累计误差是正差5/13+5/13=10/13；  
  第三筛产生的误差是正差71/91，筛后的累计误差是正差5/13+5/13+71/91=141/91；
  第四筛产生的误差是负差－101/91，筛后的累计误差是正差/13+5/13+71/91+(101/91)=40/91
   第五筛产生的误差是正差34/91，筛后的累计误差是正差5/13+5/13+71/91+(－101/91)+34/91=74/91
   第六筛产生的误差是负差－37/91，筛后的累计误差是正差5/13+5/13+71/91+(－101/91) +34/91+(－37/91)=37/91

   并知：
   在第二筛之前，在分析区（从1至200/11）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数组数量的值是15又5/13，而实际数量是15，比公式计算值少5/13。因此，在分析区之外的范围（从200/11至200）内，实际数量会比公式计算值多5/13，即：误差是5/13。因为在第二筛之前的总体误差是正差5/13，因此，在第二筛之前，在分析区之外的范围（从200/11至200）内的误差是5/13+5/13=10/13，与第二筛筛除之后的累计误差10/13相符。

   在第三筛之前，在分析区（从1至200/7）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数组数量的值是19又71/91，而实际数量是19，比公式计算值少71/91。因此，在分析区之外的范围（从200/7至200）内，实际数量会比公式计算值多71/91，即：误差是71/91。因为在第三筛之前的总体误差是正差10/13，因此，在第三筛之前，在分析区之外的范围（从200/7至200）内的误差是71/91+10/13=141/91，与第三筛筛除之后的累计误差141/91相符。

   在第四筛之前，在分析区（从1至200/5）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数组数量的值是9又81/91，而实际数量是11，比公式计算值多101/91。因此，在分析区之外的范围（从200/5至200）内，实际数量会比公式计算值少101/91，即：误差是－101/91。因为在第四筛之前的总体误差141/91，因此，在第四筛之前，在分析区之外的范围（从200/5至200）内的误差是（－101/91）+141/91=40/91，与第四筛筛除之后的累计误差40/91相符。
       
   在第五筛之前，在分析区（从1至200/3）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数组数量的值是26又34/91，而实际数量是26，比公式计算值少34/91。因此，在分析区之外的范围（从200/3至200）内，实际数量会比公式计算值多34/91，即：误差是34/91。因为在第五筛之前的总体误差是正差40/91，因此，在第五筛之前，在分析区之外的范围（从200/3至200）内的误差是34/91+40/91=74/91，与第五筛筛除之后的累计误差74/91相符。

   在第六筛之前，在分析区（从1至200/2）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数组数量的值是6又54/91，而实际数量是7，比公式计算值多37/91。因此，在分析区之外的范围（从200/2至200）内，实际数量会比公式计算值少37/91，即：误差是－37/91。因为在第三筛之前的总体误差是正差74/91，因此，在第六筛之前，在分析区之外的范围（从200/2至200）内的误差是（－37/91）+74/91=37/91，与第六筛筛除之后的累计误差37/91相符。

   通过以上内容可看出：
   筛除之前分析区之外的范围（从A/P至A）内的累计误差，就是筛除之后总体的累计误差。因此，最后的那次筛除之前，分析区之外（从A/2至A）这样较小范围内的误差，就是“连乘积公式”计算结果的误差。

   并知：当累计误差相对较大的时，“连乘积公式”对误差的调控功能的作用更加明显有效。例如：在第四筛和第六筛中，产生的误差与筛除前的累计误差方向相反，因此，把筛除之前的累计误差数值减少了。

志明

   在[http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D5第2楼的《运用“区域分析法”试证“素数公式”的误差率不会很高》中有
       
第一筛产生的误差是正差1/7，筛后的累计误差也是正差1/7；
第二筛产生的误差是负差－3/7，筛后的累计误差是负差1/7+(－3/7)=－2/7；  
第三筛产生的误差是正差3/7，筛后的累计误差是正差1/7+(－3/7)+ 3/7=1/7；
第四筛产生的误差是正差3/7，筛后的累计误差是正差1/7+(－3/7)+ 3/7+3/7=4/7

     并知：
   在第二筛之前，在分析区（从1至50/5）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数数量的数值是8又4/7，而实际数量是9，比公式计算值多3/7。因此，在分析区之外的范围（从50/5至50）内，实际数量会比公式计算值少3/7，即：误差是－3/7。因为在第二筛之前的总体误差是正差1/7，因此，在第二筛之前，在分析区之外的范围（从50/5至50）内的误差是（－3/7）+1/7=－2/7，与第二筛筛除之后的累计误差－2/7相符。


   在第三筛之前，在分析区（从1至50/3）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数数量的数值是11又3/7，而实际数量是11，比公式计算值少3/7。因此，在分析区之外的范围（从50/3至50）内，实际数量会比公式计算值多3/7，即：误差是3/7。因为在第三筛之前的总体误差是负差－2/7，因此，在第三筛之前，在分析区之外的范围（从50/3至50）内的误差是3/7+（－2/7）=1/7，与第三筛筛除之后的累计误差1/7相符。

    在第四筛之前，在分析区（从1至50/2）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数数量的数值是11又3/7，而实际数量是11，比公式计算值少3/7。因此，在分析区之外的范围（从50/2至50）内，实际数量会比公式计算值多3/7，即：误差是3/7。因为在第四筛之前的总体误差是1/7，因此，在第四筛之前，在分析区之外的范围（从50/2至50）内的误差是3/7+1/7=4/7，与第四筛筛除之后的累计误差4/7相符。

   通过以上内容可看出：
   筛除之前分析区之外的范围（从A/P至A）内的累计误差，就是筛除之后总体的累计误差。因此，最后的那次筛除，分析区之外（从A/2至A）这样较小范围内的误差，就是“连乘积公式”计算结果的误差。

   并知：在第二筛和第三筛中，产生的误差与筛除前的累计误差方向相反，由于筛除之前的累计误差数较小，因此把筛除之前的误差方向扭转了。

志明

   在http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D5 <运用“连乘积公式”的基础条件，揭开误差之迷>中2、3、4、5楼的实例中有

第一筛产生的误差是正差2/5， 筛后的累计误差也是正差2/5；
第二筛产生的误差是正差8/15，筛后的累计误差是正差2/5+8/15=14/15；  
第三筛产生的误差是负差(－7/15)，筛后的累计误差是正差2/5+8/15－7/15=7/15。

   并知：
   在第二筛之前，在分析区（从1至32/3）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数数量的数值是8又8/15，而实际数量是8，比公式计算值少8/15。因此，在分析区之外的范围（从32/3至32）内，实际数量会比公式计算值多8/15，即：误差是8/15。因为在第二筛之前的总体误差是正差2/5，因此，在第二筛之前，在分析区之外的范围（从32/3至32）内的误差是8/15+2/5=14/15，与第二筛筛除之后的累计误差14/15相符。

  在第三筛之前，在分析区（从1至32/2）范围内，按公式计算，该分析区内应筛除数数量的数值是8又8/15，而实际数量是9，比公式计算值多7/15。因此，在分析区之外的范围（从32/2至32）内，实际数量会比公式计算值少7/15，即：误差是－7/15。因为在第三筛之前的总体误差是14/15，因此，在第三筛之前，在分析区之外的范围（从32/2至32）内的误差是（－7/15）+14/15=7/15，与第三筛筛除之后的累计误差7/15相符。

志明

    既然“连乘积公式”自身具备对误差的调控功能，为何在逐步筛除的过程中，累计误差值为何都是在忽高忽低的状态中上下波动？而不是一直在减少降低？

   这是因为“连乘积公式”对误差的调控功能有一定的局限性。虽然除第一次筛除之外，后面的每一次筛除，都会产生与筛除之前分析区范围（从1至A/P）内的误差数值相等，方向相反的误差，把筛除之前分析区范围（从1至A/P）内的误差消除掉，因此，可以把每一次筛除都看成是在对误差进行调控。但是，当分析区范围（从1至A/P）内误差的方向与总体累计误差的方向相反时，可知：与总体累计误差方向相反的分析区范围（从1至A/P）内的误差，对于总体累计误差是起到了冲减作用的。在筛除过程中，把起到了冲减累计误差作用的数值（分析区范围内的误差）冲消掉，累计误差也就上升了。但是，“连乘积公式”对误差的调控功能的作用与意义，不会因为存在这种现象而被否定。

   其一、因为出现这种情况的前提条件是：“分析区范围（从1至A/P）内误差的方向与累计误差的方向相反。”因此，只有累计误差相对较小时才会出现这种情况。

   如果筛除之前的累计误差C相对较大时出现这种情况，那就意味着在从1至A的范围内，筛除之前的累计误差的分布非常的不均衡，即：在分析区之外的范围（从A/P至A）内的误差X，不仅与分析区范围（从1至A/P）内的误差Y方向相反，并且绝对值要大很多。（即：X－Y=C，可知： X不仅是分析区之外的范围内的误差，同时也是筛除之后的累计误差。）

   因为素数的倍数和两个以上小于√A的素数的乘积倍数的分布，虽然不是绝对的均衡，但是还是具有一定的均衡性，同理，筛除过程中形成的累计误差的分布也是具有相对的均衡性。因此，累计误差C相对较大时，在从1至A的范围内，累计误差的分布不会出现这种极度不均衡（X与Y不仅正、负方向相反，并且两数的绝对值的差额较大）的现象。

   从1、2、3、4楼的实例中也可看出，只有累计误差相对较小时，才会出现把累计误差调得上升了的现象。

   其二、因为筛除过程中形成的累计误差的分布具有相对的均衡性。因此，当从1至A的范围内的累计误差相对较大时，累计误差中必定有一部分会分布在分析区范围（从1至A/P）内，也就是在分析区范围（从1至A/P）内必定存在与累计误差同方向的误差。因此，此次筛除产生的误差能把分析区范围内的误差消除掉，累计误差也就下降了。

   从1、2、3、4楼的实例中也可看出，当累计误差相对较大时，“连乘积公式”对误差的调控功能发挥的作用非常明显有效，把累计误差降下去了。

   其三、已知：在最后一次筛除时，其分析区（从1至A/2）的范围内最大，分析区之外（从A/2至A）的范围最小，各占从1至A的范围中的一半。并知：累计误差的分布具有相对的均衡性。因此，如果筛除之前的累计误差不是特别的微小，在最后一次的筛除中必定会产生与筛除之前的累计误差方向相反的误差，把筛除之前的累计误差降下来。例如：

  在1楼的实例中，最后一次筛除把累计误差从－16/21降到了－8/21；
  在2楼的实例中，最后一次筛除把累计误差从74/91降到了37/91；
  在4楼的实例中，最后一次筛除把累计误差从14/15降到了7/15；
  在3楼的实例中，最后一次筛除不仅没有把误差降下去，反而把误差从1/7调升到了4/7。其中的原因就是前面所讲的，最后一次筛除之前的累计误差很微小，只有1/7。

   当累计误差相对较小，对于误差率的影响不会很大时，此时“连乘积公式”对误差的调控功能的作用不明显，甚至有时还是反向的（把误差调大了）。但是，当累计误差相对较大，对于误差率的影响较大时，“连乘积公式”对误差的调控功能发挥的作用非常明显。

   因为素数的倍数和两个以上小于√A的素数的乘积倍数的分布具有一定的均衡性，因此，筛除过程中形成的累计误差的分布也是具有相对的均衡性。误差分布的这种相对均衡性，使得调控功能具有“累计误差相对较小时，调控功能的作用不明显；累计误差相对较大时，调控功能的作用非常明显。”这样明显的特征。具有这种特征的调控功能，如同“小事不出手，大事必出手”的武侠高手一样。在逐步筛除的过程中，有效地控制了误差不会无限增大，保证了“连乘积公式”的计算结果是相对合理的近似值（误差是有限的），保证了“连乘积公式”的误差率不会很高，精确度不会很低。

大傻8888888

志明 发表于 2019-10-30 22:41
既然“连乘积公式”自身具备对误差的调控功能，为何在逐步筛除的过程中，累计误差值为何都是在忽高忽 ...

    “连乘积公式”的误差率不会很高，精确度不会很低。前面这句话只是在数值比较小时才成立。当数值趋近无限大时计算值大约是实际值的1.261倍，这时的误差率就很高了。

lusishun

yao tiao chu wucha  d  nitan

lusishun

你们陷入误差的泥潭，
误差不会无限大，不是公式在调控，而是倍数含量的重叠规律在起作用，而公式是重叠规律的反应。
您们是本末倒置。先有规律，再有公式。

志明

大傻8888888 发表于 2019-10-31 03:41
“连乘积公式”的误差率不会很高，精确度不会很低。前面这句话只是在数值比较小时才成立。当数值趋近 ...

先生：您好！
“当数值趋近无限大时计算值大约是实际值的1.261倍，”请问是哪位数学家在什么时候证明的？网上能查阅到吗？

因为偶数A越大，在从1至A的范围内，素数的倍数和两个以上小于√A的素数的乘积倍数分布的均衡性会相对越好，同理，历次筛除过程中产生的累计误差的分布情况也会相对更均衡，因而，“连乘积公式”对误差的调控功能的作用会发挥的更好。因此，当数值趋近无限大时，计算值不可能是实际值的1.261倍。

大傻8888888

discover 发表于 2019-10-9 09:48
志明：运用"区域分析法"试证"哥猜公式"误差率不会很高
数学家早己证明：所谓的哥猜连乘积公式在偶数充分大 ...
　　discover先生说“数学家早己证明：所谓的哥猜连乘积公式在偶数充分大时误差率约为26%.”请问是哪位数学家在什么时候证明？
上面是dicover给你的回复，后面是我的问题。下面是我的证明：
“我们知道哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数猜测公式如下：
r(N)～2c∏[(p-1)/(p-2)]N/(lnN)^2      其中∏[(p-1)/(p-2)]中的p|N，√N≥p＞2   c是拉曼纽扬系数
如果p不整除N.则上式成为：
r(N)～2cN/(lnN)^2
根据梅滕斯定理，可以知道：
∏(1-1/p)～2e^(-γ)/lnN       其中2≤p≤√N      e^(-γ)≈0.56146
因为素数定理：
π(N)～N/lnN
所以有：
π(N)～N∏(1-1/p)/2e^(-γ)        其中2≤p≤√N
也就是说想用∏(1-1/p)表示素数的个数必须乘以1/2e^(-γ)才能得出正确的值
同样如果用∏(1-2/p)表示哥德巴赫猜想的个数就需要乘以[1/2e^(-γ)]^2才能得出正确的值这是因为
(1/2)∏(1-2/p)=(1/2)Π(1-1/p)(p-2)(p-1)=(1/2)Π(1-1/p)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]
=2Π(1/2)(1-1/p)(1/2)(1-1/p)[1-1/(p-1)^2]   其中2＜p≤√N，
所以
r(N)～ (N/2)∏(1-2/p)[1/2e^(-γ)]^2=2cN∏[(1-1/p)^2][1/2e^(-γ)]^2=2cN/(lnN)^2   
上面(1-2/p)里2＜p≤√N      (1-1/p)里 2≤p≤√N
如果p|N，则
r(N)～2c∏[(p-1)/(p-2)]N/(lnN)^2
至此关于哈代与李特伍德的哥德巴赫猜想个数的猜测得以初步证明
欢迎广大网友批评指正”
其中[2e^(-γ)]^2≈1.261