[推荐]1元3次方程新解

ysr

如下为网上资料：
三次方程的一种解法
（三次方程 不变量 配极）
（数学公式只能凑合了）
有多种方法可以导出一元三次方程的根式解，一般而言这些方法可能并不那么复杂，但是可能看上去也不是很简单。下面将介绍一种基于不变量理论的方法，运用这种方法在一般情况下可以将一个给定的三次多项式表达成两个一次式的立方和，从而最终求解。
先简单说一下不变量。多项式的不变量指的是多项式的変元在平移作用下各系数之间保持不变的一个关系式，例如对于一个一元二次多项式ax^2+2bx+c，系数的关系式b^2-ac就是一个不变量，验证如下：假设x平移为x+s，那么新的多项式变为a(x+s)^2+2b(x+s)+c=ax^2+2(b+as)x+as^2+2bs +c，计算得(b+as)^2-a(as^2+2bs +c)=b^2-ac，可见关系式b^2-ac是保持不变的。（顺便说一下，多项式的一条不变性质就是多项式在变量任一平移后仍然具有的性质，例如多项式有重根就是一条不变性质。不变性质和不变量有着紧密的联系，一个不变量为0就表达了多项式的一条不变性质，反过来也成立。例如上述的不变量b^2-ac=0就表达了一元二次方程有重根这条不变性质。）
对于两个多项式，不变量是在同一变量平移下这两个多项式的系数以及变量间保持不变的一个关系式。就我们所关心的，一对多项式是由一个三次多项式x^3+3ax^2+3bx+c和一个二次多项式x^2+2dx+e构成的。它们之间的一个不变量是 (e-2ad+b)x-ae+2bd-c (配极不变量)（至于一般的系统的构造不变量的方法是一个复杂的问题，这里就不再验证其不变性）。这个不变量为0表示的是这两个多项式配极。通过令配极不变量为0，即e-2ad+b=0以及-ae+2bd-c=0一般可以求出与给定三次多项式x^3+3ax^2+3bx+c配极的唯一二次多项式x^2+2dx+e；反过来给定一个二次多项式x^2+2dx+e，如果x1，x2是该二次多项式的不同根，那么可以验证三次多项式（x-x1）^3和（x-x2）^3都与其配极，并且通过解线性方程（配极不变量等于0）可知所有与其配极的三次多项式都可表示为这二者的线性组合。这样，多项式x^3+3ax^2+3bx+c就可表示为k(x-x1)^3+(1-k)(x-x2)^3，其中 k通过比较系数确定，可以看出最后的这种形式求解是容易的。（如果没有二次多项式与其配极或者与其配极的二次多项式的根x1和x2相等，此时三次方程应该会是比较特殊的，可以通过其它的方法求解，待确认）
下面来一个范例验证一下，例如给出三次多项式为x (x-1)(x+1)=x^3-x，它的三个根为显然是0，1，-1。对比一下可知a=0， b=-1/3，c=0 。解方程组 e-1/3=0以及 -2/3d=0得 d=0，e=1/3。因而与其配极的二次多项式为x^2+1/3，其根为x1=sqr(1/3)i 和x2=-sqr(1/3)i。令 x^3-x= k(x-x1)^3+(1-k)(x-x2)^3可得k=1/2，因而(x-x1)^3=- (x-x2)^3，于是有x-x1=-(x-x2) 或 x-x1=-w(x-x2) 或x-x1=-w^2(x-x2)，（i为虚数单位，sqr为根号，而w=(-1+sqr(3)i/2） 最后解出 x=0或x=-1，或x=1。

ysr

x^3-x=0，没有常数项，是2次方程！

ysr

飘飘的工地（悟圆）挖出一幢古碑，底座有精美龙纹浮雕。新年伊始，出土珍贵文物，堪称祥瑞！感而作诗送朋友：
叹蛰龙

不上九霄偏深埋
立志原在苍天外
有朝一日挖出来
直冲太空脱尘埃
马年到，祝愿朋友：
龙马精神身体壮，
一马当先奔前程，
万马奔腾生活快乐，
天马行空心情美，
千军万马迎马年，
车水马龙许心愿，
金戈铁马再征战，
老马识途好运连，
青梅竹马情谊深，
马不停蹄加一鞭！
祝马到成功，新春大吉！

ysr

一对多项式是由一个三次多项式x^3+3ax^2+3bx+c和一个二次多项式x^2+2dx+e构成的。它们之间的一个不变量是 (e-2ad+b)x-ae+2bd-c (配极不变量)（至于一般的系统的构造不变量的方法是一个复杂的问题，这里就不再验证其不变性）。这个不变量为0表示的是这两个多项式配极。

ysr

通过令配极不变量为0，即e-2ad+b=0以及-ae+2bd-c=0一般可以求出与给定三次多项式x^3+3ax^2+3bx+c配极的唯一二次多项式x^2+2dx+e；

ysr

多项式x^3+3ax^2+3bx+c就可表示为k(x-x1)^3+(1-k)(x-x2)^3，其中 k通过比较系数确定，可以看出最后的这种形式求解是容易的。

ysr

如下为程序验证，不太对，不知是否理解错误？希望朋友帮助！
输入1:  a=1,  b=3,  c=3,  d=1;  输出结果1:    x1=-1,  x2=-1,  x3=-1    m=0    n=0i
e-2ad+b=e-6d+3=0,
-ae+2bd-c=-3e+6d-1=0,
-2e+2=0,e=1,
d=2/3,
x^2+2dx+e=x^2+4x/3+1=0,  输入2:  a=1,  b=4/3,  c=1,  d=;  输出结果2:    x1=0,  x2=-0.6666666667+0.7453559925i,  x3=-0.6666666667-0.7453559925i    m=29.0370370371    n=30.9838667697
k(x-x2)^3+(1-k)(x-x3)^3=0,可得k=1/2，因而(x-x1)^3=- (x-x2)^3，于是有x-x1=-(x-x2) 或 x-x1=-w(x-x2) 或x-x1=-w^2(x-x2)，（i为虚数单位，sqr为根号，而w=(-1+sqr(3)i/2） 最后解出x=-0.6666666667,
x=,
x=,

ysr

这个对：X=（X1+X2）/（1+W^2）=-1