关于一种全新的数学观念与理论

qilongzhu

[这个贴子最后由qilongzhu在 2006/10/24 02:05pm 第 1 次编辑]

近日感觉非常无聊，在家里总是不知道要做什么，总是听音乐消遣，已经两天没有上网了。但今天上网又不知道要做什么，第一想到的就是到这个论坛看看，但仍感觉很无聊。于是现在尝试构造一种全新的数学理论，并将陆续地将其内容给出，实际上我现在仍不知道要怎么去构造一种全新的数学理论。因为这是我刚刚才想做的事情，大家就等待一下吧。

qilongzhu

[这个贴子最后由qilongzhu在 2006/10/24 04:33pm 第 1 次编辑]

我似乎已经想到一种全新的数学观念，大家来看看究竟是不是。
先将我那篇名为“命题逻辑的代数化”的贴子内容转过来。
记命题的值域为I={0，1}，I';={x|x是I上的变量}为所有命题的集合，规定I是I';的子集合，0={0}，1={1}，设x,y∈I';，定义x的否定命题为*x=1-x，定义x与y的与命题为x∧y=xy。再定义x与y的或命题为x∨y=*((*x)∧(*y))。

从上面的内容可以看出，集合论是一种非常方便使用的语言，代数对象起到非常神奇的作用。实际上我们都知道所有理论都依赖于逻辑，而在我看来理论就是逻辑的外延，或者说，我们在做的是构建一个坚不可摧的逻辑理论体系，在这个体系中包含着所有理论。于是数学理论本身就是逻辑体系中的一部分。  
如果我们将所有理论都看作关于逻辑的理论，那么我将数学是一种抽象的逻辑学，我将数学称为抽象逻辑学。
或许大家对这种数学观念感到非常可笑，这不重要，因为我并不认为这种观念是正确的。但它却为我展示出一种最大限度扩充逻辑概念的方向，同时也启发我如何最大限度地扩充一种理论。
下面就是在这种启发下得到的数学观念：数学是表达结构的语言，以结构为研究对象，应用结构进行分析的相对科学理论。或者讲，数学分析是表达结构，对结构进行变换的过程。
我并不认为这种数学观念是全新的。实际上我所说的全新数学观念是十分简洁的：数学是一个抽象结构体。
我并不打算对这种如此简明的观念作任何说明或解释。而是希望基于这种观念来完成相关的理论工作。

qilongzhu

大家来看一下我对集合论的公理化是否合理？
设符号a,b,c表示任意对象，引入运算符号+与特殊符号0，再引入命题函数M（），最后引入函数符号{ }，规定：
1.a+0=a；2.a+b=b+a；3.a+a=a；4.若a+b=a+c，且b,c均不为0，则b=c；
5.M（a），当且仅当不存在b,c，使b,c均不为a，且a=b+c；
6.M（{a}）；7.若{a}={b}，则a=b。

qilongzhu

我发现我所给出的集合论的公理化内容仍存在着缺陷，这些缺陷有部分是来源于集合论悖论，另一部分来源就不讲了。
在这里先给出我对于自然数的定义，与集合论悖论的相关内容将在后面继续给出。
何谓自然数呢？我想从代数学公理化角度给出。
设符号a,b,c表示任意对象，引入运算符号+与特殊符号1，再引入集合符号N，最后引入命题函数M（），规定：
1.若a∈N,b∈N,c∈N,则（a+b）+c=a+（b+c）；
2.M（a）,当且仅当不存在b∈N,c∈N,使a=b+c；
3.M（a）,且a∈N，当且仅当a=1；
4.若a∈N,则a+1≠a；
5.若a∈N,则a+1∈N。
尽管我并不能肯定如上定义的N就是我们所熟悉的自然数集，但我可肯定的是上述假设已足以表明有无穷个有限大自然数。这似乎已经不是奇怪的事情，但对于我来说，这实际上已超出我所能够理解的范围。
现在我将从代数学角度来给出无穷大的定义：无穷大实际上是加法零元，或者说就是方程a+1=a的解a。
或许这种定义并不够宽广，因为我们并不能肯定对于无穷大数的加法满足交换律或结合律，以至于可能失去许多的无穷大。

qilongzhu

下面给出我对复数系的公理化内容：
1.{1,-1}∠C;2.{a,b}∠C→{a+b,a*b,a^b}∠C;3.a+b=b+a;4.(a+b)+c=a+(b+c(;5.a*b=b*a;6.(a*b)*c=a*(b*c);7.(a+b)*c=(a*c)+(b*c);8.a^(b+c)=(a^b)*(a^c);9.((a*b)^c=(a^c)*(b^c);10.a+(1+(-1)=a;11.1*a=a;12.a∈';{（1+（-1）)^（-1）}→(1+(-1)=(1+(-1))*a;13.a^1=a;14.a∈';{1+(-1),(1+(-1)^(-1)) →a^(1+(-1))=1;15.1+1≠1
其中1，-1为特殊符号，a,b,c为任意对象。

qilongzhu

下面给出我给出不含零的复数系的公理化内容：
1.{1,-1}∠C;2.{a,b}∠C→{a+b,a*b,a^b}
C;3.a+b=b+a;4.(a+b)+c=a+(b+c(;5.a*b=b*a;6.(a*b)*c=a*(b*c);7.(a+b)*c=(a*c)+(b*c);8.a^(b+c)=(a^b)*(a^c);9.((a*b)^c=(a^c)*(b^c);10.a+b≠a;11.1*a=a;12. a^1=a;13.a^(1+(-1))=1.
其中1,-1为特殊符号，a,b,c为任意对象，∠表示包含于，∈';表示不属于。

qilongzhu

下面给出我对极限的定义：
将上面定义的不含零复数系映射到通常的复数系，记此映射为L；称L为极限映射，是指它满足规定：L（a）=a。
有了极限的定义后，我们可以定义导数：设F为不含零复数系上的函数，定义F‘（a）=[F（a+0^（1/2））-F（a）]/0^（1/2），F';（a）=L（F‘（a）），称F';（a）为F在a处的导数。

qilongzhu

关于无限长线性语言的数学原理
我并没有学习过语言学中的内容，或者说我的文化程度只有高中水平，我语文成绩也很差劲，考试总是不合格，在这里我只是凭感觉给出一些名词。或许下面内容并无任何新鲜的见解，但这并不是我给出以下内容的原因，因为我只是为了方便讨论一些问题。
称定义在集合A上的映射为A射，当A为整数集，则称为整射。记全体整射的集合为F，称为线性语言库。
记映射f定义域为f^，值域为f~。记集合A的基数为|A|，称满足|f~|=1的映射f为点射。
设m∈f~，记其任一原象为m_f,即m_f为任一满足f（m_f）=m的对象。
记m‘为定义域为全集I而值域为{m}的点射，简记m`=m_m‘。
所谓无限长线性语言是指F的一个具有如下性质的子集合H，H的任意元素f都有f~为H的子集合。
我们可以用类似于这种定义原理来定义更多不同形态的语言，乃至要定义语言这一也似乎不再难了。最后我想说明的是，之所以我要引入语言的数学定义，除了为了方便讨论一些问题之外，还有另一原因，就如以前所述要表述数学这个结构体并研究其结构。

wangyangkee

顽石，成功数学家，达到指斥康托答陆教授问的高峰
elimqiu老师达到与顽石先生不相上下的学术高度！
申一言，单位论，战无不胜
俞根强，理直气壮闹蠢货；俞氏荣耀走下坡路--------