证明 x^2+y^2=3z^2 没有正整数解

luyuanhong · 发表于 2014-2-11 10:31

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

證明 x^2 + y^2 = 3z^2 沒有正整數解，而沒有正整數解，即無 (0，0，0) 以外的整數解

掬一捧月光 · 发表于 2014-2-11 13:24

此题即为圆X^2+Y^2=3上无有理点落在圆周上！

掬一捧月光 · 发表于 2014-2-11 14:10

luyuanhong · 发表于 2014-2-11 15:56

谢谢楼上掬一捧月光的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

掬一捧月光 · 发表于 2014-2-11 22:15

数论我不会，还请教陆老师此题的数论常规解法～

王成5 · 发表于 2014-2-11 23:51

luyuanhong · 发表于 2014-2-12 00:02

谢谢楼上王成5 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

moranhuishou · 发表于 2014-2-12 09:34

moranhuishou · 发表于 2014-2-12 15:36

好像没人看明白，再详细下：
z^2-2(t+r)z+(-t^2-r^2)=0
是z的一元二次方程式，它若有整解只有两个，设为a,b
则有
（z-a）(z-b)=z^2-(a+b)z+ab=0,
当a=b时，有
z^2-2az+a^2=0
所以，上式若有整解成立，只能有
(t+r)^2=-t^2-r^2

moranhuishou · 发表于 2014-2-12 18:57

不知道还有哪点不明白？

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