有几个多项式f(x)=x^7+a1x^6+…+a6x+a7，系数在{1,2,…,10}中，且能被x^3+x^2+x+

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/02/14 00:30pm 第 1 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

掬一捧月光

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/02/15 11:32am 第 1 次编辑]

谢谢楼上 掬一捧月光 的解答。我已将此帖转贴到“陆老师的《数学中国》园地”。

luyuanhong

下面是台湾网友看了楼上的解答后提出的问题：

d=2  有 40 組? 為什麼?

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/03/29 04:58pm 第 1 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

想請問這解答中紅色部分是為什麼?謝謝!  
x^3+x^2+x+1=0的三虛根令為w, w^2, w^3,
又f(w)=0, 代入之後得到
w^7+a1w^6+a2w^5+a3w^4+a4w^3+a5w2+a6w+a7=0
w3^(1+a4)+w^2(a1+a5)+w(a2+a6)+(a3+a7)=0
故可得關係式: 1+a4=a1+a5=a2+a6=a3+a7
再針對a4的值作討論：
(1)  若a4=10, 則 a1+a5=a2+a6=a3+a7=11,  所以(a1,a5), (a2,a6), (a3,a7)
    可能的情況為 (2,9), (3,8), (4,7), (5,6) , 此情形有 4*3*2*2^3=192
(2)  若a4=9,   可能的情況為 (2,8), (3,7), (4,6),  有 3*2*1*2^3=48
(3)  若a4=8,   可能的情況為 (2,7), (3,6), (4,5),  有 3*2*1*2^3=48
(4)  若a4=7,6, 5,4,3,2,1 均無解
故所求共 288 組