n 是正整数，求使得方程 x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0 有有理数根的充要条件

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/02/21 10:31pm 第 1 次编辑]

这是台湾网友 YAG 发表在“陆老师的《数学中国》园地”的一个帖子，
欢迎大家一起来想想如何解答：

掬一捧月光

设f(x)=x^n+(2+x)^n+(2-x)^n
当n为正奇数时，f(-∞)=-∞,f(+∞)=+∞,又f(x)连续，则f(x)必有零点，即方程x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0有有理根
当n为正偶数时，f(x)为偶函数，minf(x)=f(0)>0，则方程x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0无有理根
所以方程有有理根的充要条件是n为正奇数[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 掬一捧月光 在 时添加 -=-=-=-=-
纠正：上述不成立，与x轴有交点不一定是有理点。谢谢陆老师提醒

luyuanhong

下面引用由掬一捧月光在 2014/02/21 01:13pm 发表的内容：
设f(x)=x^n+(2+x)^n+(2-x)^n
当n为正奇数时，f(-∞)=-∞,f(+∞)=+∞,又f(x)连续，则f(x)必有零点，即方程x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0有有理根
当n为正偶数时，f(x)为偶函数，minf(x)=f(0)>0，则方程x^n+(2+x)^n+(2-x)^n=0无有理根
所以方程有有理根的充要条件是n为正奇数

掬一捧月光

谢谢陆老师提醒，第一印象是与x轴有交点，没注意还要是有理数，那么再在正奇数里面寻找满足题意的条件。

luyuanhong