一条直线上点的个数为什么和一个平面上点的个数相等呢？

fm1134

    按照实变函数理论，一条直线上的点和一个平面上的点是一一对应的，它们的基数都是
C，或者说，一条直线上点的个数和一个平面上点的个数是一样多的。
    直观地看，取X轴所在直线上任意一点A，过A作垂直于X轴的直线L，由于过X轴上任意一
点都可以作这样的垂线，所以直线L上的所有点都可以看作是和A对应的。比如说：取X轴上
一点A(2,0),过A(2,0)作直线L垂直于X轴，则直线L上所有点（比如：（2,1），（2,2），
（2,3）...等等)都和A点对应，由于A点是任意的，所以上述的对应关系是具有普遍性的。
这里，与A点对应的是无穷多个点，明显不是一一对应的关系，可为什么还要说“一条直线
上的点和一个平面上的点是一一对应的”呢？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/03/28 06:55pm 第 3 次编辑]

任在深

鄙人以为应该从点，线，面的定义出发。
    1.点没有大小，
    2.线没有粗细，
    3.面没有厚薄！
因为点没有大小，所以任何一条线段上都有无穷多的点！
同理任何面上也有无穷多的点！
因此任何线(段）上的点与任何面(积)上的点都是一样多的即无穷多！
当然无穷多与无穷多是一一对应的！
    因此点没有大小才是线段上的点与面积上的点一一对应的原因！
     个人观点，仅供参考！
     欢迎批评指正！

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2014/03/29 06:17pm 第 1 次编辑]

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：

在 Cantor 的集合论中，提出这样的定义：

对于两个点集 A 与 B ，如果可以找到一种方法，使得 A 中的点与 B 中的点，
建立一一对应，就认为点集 A 与 B 的势相等，或者说，A 与 B 有相同的基数。

    许多人常常把“A 与 B 的势相等”、“A 与 B 有相同的基数”说成是
“A 与 B 有相同的点数”、“A 与 B 中点数一样多”。
    其实，这种说法，从严格的数学来看，是非常不规范的，是容易引起误会的。
    Cantor 的定义，其实只是一种点集的分类方法。
    按照这种定义，“数轴上全体整数点的集合”“数轴上全体偶数点的集合”
“数轴上全体奇数点的集合”“数轴上全体有理数点的集合”都属于同一类，它们
的基数都是“ℵ₀（阿列夫0）”。
    属于同一类的点集，基数相同，但并不意味着“点数一样多”。明明偶数只是
整数中的一部分，怎么会偶数点集合中的点数与整数点集合中的点数“一样多”呢？
明明整数只是有理数中的一部分，怎么会整数点集合中的点数与有理数点集合中的
点数“一样多”呢？
    同样，按照 Cantor 定义，“一条线段上全体点的集合”“一条直线上全体点的
集合”“一个正方形内全体点的集合”“一个圆内全体点的集合”“一个平面上全体点
的集合”“一个球内全体点的集合”也都属于同一类，它们的基数都是“א（阿列夫）”。
    这些点集，虽然属于同一类，但并不意味着“点数一样多”，明明线段只是直线
中的一部分，怎么会线段上的点数与直线上的点数“一样多”呢？明明正方形只是平
面中的一部分，怎么会正方形内的点数与平面上的点数“一样多”呢？
    所以，把两个集合“有相同的基数”，说成是“点数一样多”，其实是不正确的，
至少是不规范的，很容易引起误会，我们最好不要这样说，更不应该按照这种说法去
作推理、证明。

fm1134

      非常感谢两位的解答！本人感到受益非浅！
      
      按照《实变函数论》中的说法，集合的“基数”这个概念是集合元素个数概念
的推广，当集合A为有限集时，A的基数就等于A中元素的个数。因此，当A为无限集
时，就很容易使人认为这时A的基数也等于A中元素的个数。但这样认为又会导致一系
列的矛盾，真是让人左右为难啊！