斯特林数和自然数前 m 项 n 次方的求和公式

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2012/06/13 06:30pm 第 3 次编辑]

zhaolu48

是好方法之一。值得学习应用。
但不如逐差法简单易记。

xxr741128

你能给出
1^100+2^100+3^100+.....+n^100   的通式吗?楼主?

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2007/05/04 09:35am 第 1 次编辑]

下面是它的通项公式：

你可以用比较小的 n 值（比如 n=2，n=3）来验证这个公式。

BlaisePascal

老师有没有看过83年第一期的中等数学刊里的那个？斯特林数的推导我在数学分析新讲里面也看到过。
已上传
文中提到还有好几篇文章探讨该问题，
不知谁能把这些集中到这个贴中来一起学习研究。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2010/01/23 04:29pm 第 1 次编辑]

下面引用由BlaisePascal在 2010/01/23 02:20pm 发表的内容：
老师有没有看过83年第一期的中等数学刊里的那个？斯特林数的推导我在数学分析新讲里面也看到过。
文中提到还有好几篇文章探讨该问题，
不知谁能把这些集中到这个贴中来一起学习研究。

为了让大家更容易看到楼上帖子附录中上传的 1983 年第一期《中等数学》中关于
“自然数前 n 项的 r 次方求和公式”的一篇论述，我把它变成图形文件，显示在下面。
从这篇文章开头的叙述，可以知道，在它以前，国内外已经发表了多篇有关的论述，
但是，“都是就 r 是某些具体数值时的求法，未得出关于 ∑k^r 的统一表达式。”
下面这篇《中等数学》上的论文，给出了求 ∑k^r 的统一表达式。
但是我们可以看到，这个公式非常复杂，要用到一个自定义的行列式 D2p ，证明也非常麻烦。
相比之下，在本帖第 1 楼中，我给出的“自然数前 m 项 n 次方求和公式”，就要简单得多。
我的公式中，没有用到什么特殊的自定义的东西，只用到常见的组合数，证明也很容易，
只用到数学归纳法。而且，我的公式一举两得，顺便还推导出了求斯特林数的一般公式。
我给出的公式与《中等数学》上给出的公式，相比之下，哪个好哪个差，还不是很明显吗？

BlaisePascal

恩，相比之下luyuanhong老师的方法对这个问题更好，但我觉得楼上的那个证明挺有趣的，至少对我来说，因为在印象中数值型的行列式多用于解决线性方程组有关的内容，至少在高中和本科阶段的学习过程中给我这样的感受，
而甚至有类似于克莱姆法则在高阶的线性方程组的解答中也更多地只具有理论意义，
有空好好研究一下这个问题，

ccmmjj

顶一下。多年老贴啦。陆老发这个贴子时，我还没来此呢！