[求助]求解一个问题？

zwdddx

求不定方程
a1+a2+a3+……am=n
的非负整数解的组数。
希望能有答案
好像是(n+m-1)!/((m-1)!*n!)
但是不知道为什么，希望能有人解释一下，谢谢！

数论爱好者

你的这个答案是正确的吗？有点不好理解

zwdddx

此题的原形是说将n个元素分为m个组（允许该组中没有元素）

数论爱好者

你说的这个情况我想到了，但我现在还没太理解答案中的分母

zwdddx

书上有个例子说6个分5组，
说组数是(1-x)^(-5)展开式中x^6的系数！
但是哪有x^6啊？
实在理解不了！

cuibo

"书上有个例子说6个分5组，
说组数是(1-x)^(-5)展开式中x^6的系数！
但是哪有x^6啊？
实在理解不了"
用泰勒展开式
因为1/(1-x)=1+x+x^2+x^3+....;求导得
   1/(1-x)^2=1+2*x+3*x^2+4*x^3+....
   2/(1-x)^3=2+6*x+12*x^2+20*x^3+...
   .....

数论爱好者

楼上用导数什么意思

zwdddx

哦！明白了！怎么把泰勒级数给忘了！
谢谢哦！

zhaolu48

>此题的原形是说将n个元素分为m个组（允许该组中没有元素）
　　三楼的这种说法是正确的，但括号中说的不够清楚，括号中应说明为：允许有元素个数为零的组。
　　至于如何分法，三楼也没说。
　　楼主的结论是正确的。
　　用排列组合的办法一点一点的推理，也可证出结果，但我试过，太麻烦了。
　　我们不妨用黑白球的方法去作：
　　设有n个相同的白球，m-1个编号分别为1,2,3,…,m-1，把它们混放在一起，再排成一排，使黑球从左到右按编号顺序排列(两个相邻黑之间也可有白球，也可以没有白球)，
　　设第一号黑球前白球的个数为x_1，
　　设第一号黑球后第二号黑球前白球的个数为x_2，
　　设第二号黑球后第三号黑球前白球的个数为x_3，
　　……　……　……　……　……　……　……
　　设第m-2号黑球后第m-1kgn 黑球前白球的个数为x_m-1，
    设第m-1号(即最后一个黑球)后面的白球个数为x_m。
那么有：
　　x_1+x_2+x_3+…+x_m=n
因黑白球总个数为n+m-1，
由排列组合知识可知道，按这种方法的排列的个数为C(n+m-1,n)。
这也称为求元素可重复组合数的公式。

ling963852

用挡板法啊，n个元素分成m组，n个元素有n－１个间隙（不包括两头），在n-１个间隙中任取m个，即可，即为排列组合