令人哑然的天大笑话

顽石

令人哑然的天大笑话
集合论是数学基础。建筑在这个基础之上的数学理论和著作，堆积如山。而构成这个基础的最基本的一个定理，就是“全体小数的数量多于全体自然数”的结论。非常著名，常常出现在科普读物中，或普及这个常识，或介绍这个定理的证明方法。如出现在由美国科学家乔治.盖莫夫撰写的《从一到无穷大》科普书中，许多国家多次出版。这个“百年常识”（注）已广泛普及，并且不断教育年轻的新一代。例如：我国最近介绍这个定理，出现在中国科学院张景中院士和中国科学院数学研究所研究员任宏硕教授合著的《漫话数学》2003.8中国少年儿童出版社出版的一书中，这是本由中国科技协会科普专项资助的献给中学生的有相当份量的新读物。
国际数学界公认，对二十世纪数学影响最深刻的两个数学家，是法国的庞加莱（Poincare，1854—1912）和德国的康托尔（Cantor，1829—1920），（倪海曙主编《二十世纪数学史话》P1上海 知识出版社1984.2出版）。上述这一著名定理就是由大数学家康托尔提出并完成了证明的。他创立的集合论，成为实变函数论、代数拓扑、群论、泛函分析等理论的基础。集合论的论据导致建立数学领域的又一个分支，近期它有很大的发展，是现代数学重要的组成部分。…它在科学和技术中得到很大的实际应用（【苏】Б.B.鲍尔加尔斯基著《数学简史》P275 潘德松 沈金钊译 知识出版社1984.1出版 上海）。
当初，康托尔创立集合论时，曾遭到同事、同行们，包括他的老师激烈的反驳，逐渐形成数学界中逻辑主义、直觉主义、形式主义三大学派的旷日持久的激烈论战。因承受不住过度劳累和论战的巨大压力，他终于在1884年精神崩溃患上精神分裂症。为了科学真理，付出了沉重的代价。但是，经过大论战的洗礼，康托尔最终获得了世界的承认。大家公认，整个数学已经建立在严谨的集合论基础上了，因此，庞加莱1900年在巴黎召开的数学大会上高兴地宣称：“现在，我们能够说，完全严格性已经达到了。”（张锦文著《集合论与连续统假设浅说》P58上海教育出版社1980年6月第一版）。虽然后来又有人提出集合论的悖论，但集合论的稳固看来已是不争的事实。如某个有名望的数学家再提出什么新问题，甚至想推翻某个重要定理。会被认为必闹笑话。
很不幸，笑话已经产生。笔者经过多年思考，认为集合论并非十分严谨，而存在着显而易见的漏洞。在不久前，提出了与康托尔集合论基本定理相反的“自然数小数等量定理”。这样，以康托尔及当今数学家为一方，笔
者为另一方，必有一方是错误的。也即必定有一方制造了笑话。是笔者吗？人们在良知未被唤醒之前是不会认真阅读和思考的。其下意识的生理反应是避风险、离笑话。一年多笔者到处投稿无人理睬，这种可悲遭遇就说明了一切。但是如果笑话源,被无情地证实，正是康托尔及其一个多世纪以来的整个数学界，事情就非常严重。必将会被列为人类有史以来天字第一号的大笑话了！至今，这个假定理已被敬若神明，堂而皇之地存在了一个多世纪之久！竟然无人发现有什么不对。在大论战中也无人论及，而且，要指出它的谬误也非常简单和容易。甚至不需要什么数学公式，也不需要具备很多的数学知识，只要使用一般日常用语就行。这可说是令人最惊讶的地方了。总之，涉及顶级大权威、结论正确与否极其重要、漏洞极大、存续时间久远、恰巧都熟视无睹、竟又被我这个不知名的数学外行几乎用低能方法指出！强烈反差全都集中在一起，这就是天大笑话的全部涵义！
下面，让我们来欣赏它的滑稽和荒诞：
曾在大科学家爱因斯坦手下工作过的英国著名数学家兼物理学家兰佐斯，在介绍康托尔的这一证明时写道：“这个论证是用反证法来进行的，也就是说，我们将证明，如果确实得到相反的结果，将会产生矛盾。假定有人宣称，他已经成功地找到一种排列方式，能够使无尽小数同自然数达成一一对应关系。这就是说，每一个无尽小数都会在他的排列中出现，并且只出现一次。好，现在康托尔说话了：‘把你的排列方法拿出来给我看看吧！’这种方法可能是下面这种形式（康托尔为了证明的方便，预先规定将一切有限小数都作无尽化处理，如：将0.125武断地改写成0.124999999…的形式）的排列：
1      0.23147…      （  1    0.00111011010000011…）
2      0.31585…      （ 10    0.01010000110110111…）
3      0.80214…      （ 11    0.11001101010110010…）
4      0.12134…      （100    0.00011111000100000…）
5      0.02581…      （101    0.00000110100110110…）
……      ……                ……
（括号内数字是笔者将十进制数的对应变换为二进制数对应）‘现在我要告诉你，’康托尔说，‘你的排列方法是不行的，因为你已经丢掉了一些东西。’为了说明这一点，他按照下面的办法作出一个无尽小数。在这个小数的第一位，他写下一个同上面第一个无尽小数的第一位数不同的数字；在第二位，他写下一个同第二个无尽小数的第二位数不同的数字；在第三位，他写下一个同第三个无尽小数的第三位数不同的数字，余者依次类推。”这
样构成的无尽小数是无法包括到前面所假设的那个排列方式中去的，因为它同那个排列中的任何一个小数至少有一位数字不同。这就证明了那种排列方式不可能把全部无尽小数都包括进去。(兰佐斯著 《无穷无尽的数》P163  P164  吴伯泽译1979.11北京出版社出版）。
就是说，与对角线对应的无尽小数原本为0.21231…，按照上述规定，对这个小数的每位数字全都重新改写，例如变成如下新的无尽小数为：0.32475…。显然因十进制的每位数都各有9种别的数字变化，因此，改写出来的新无尽小数，会有：9×9×9×9×…×9个之多，是9的无穷大次幂！当然，还有无穷多个新无尽小数未被一一对应。
但令人哑然失惊的是，对上述的反证法证明，只用一句话轻而易举就能推翻：将上述的十进制数对角线法证明全改为二进制就只能产生唯一的新无尽小数0.10101…，而不是无穷多！不信？您就去看看括号内二进制小数的对角线是什么小数？0.01010…，哑口无言了吧？！
无穷多个1相乘仍然是1，而不是无穷多个9相乘。对角线法失灵，无任何意义。康托尔的反证法被归于谬误。0不属于小数，它是特殊的整数，或称为特殊的自然数。这个唯一的未被一一对应的新二进制无尽小数若一定要对应，那就由0来对应吧！既然，二进制的自然数和小数，完成了一一对应，又举不出其它新的二进制小数，当然，两者数量相等了。
二进制知识已被普及。当今的电脑技术应用已无处不在，其工作原理就是将人们熟悉的十进制同价变换成电脑便于处理的二进制，这就可将人类的一切“言行”数字化，实现所谓的“人机对话”。因此人们切不可徒劳地去怀疑十进制与二进制还有什么实质的区别。用同一种数学证明方法推断出两种截然相反的结果，按照逻辑，这个方法应归为谬误。也切不可说“任月扬是正确的，康托尔也是正确的”之类的废话。上述四十五个字的“一句话证明”固若金汤！无法反驳。
另外，还可用以下同样十分简单的方法，来证明两者数量相等：
一.在向右无限延伸的水平线上的每个点，代表每个依次排列的自然数，再在每个自然数右边增添无用的尾巴“.0”如：1.0，2.0，3.0 … 等。还规定自然数的十个数字符号，正写和反写视作相同。
二.将上述带尾巴的全体自然数序列作整体左右翻转，就制造出在向左无限延伸的水平线上的全体小数，按照位数高低而不按小数大小的依次排列。虽然大小变得无序，但都一个不漏地全部列出来了。
三.因为这种左右整体翻转，使全体自然数与全体小数包括无限多位的自然数和无限多位的小数，呈现左右“镜像对称”，当然两者各数，相互一
一对应。既然全体的自然数和全体小数都已列出，并且，对称的构造，本来天然就一一对应，因此，两者数量相等。证毕。
根据与友人的多次辩论经历，镜像对称证明法，最可能遭到的反驳，就是反对存在“无限多位自然数”的提法。认为无限多位的自然数是不确定的。反驳者真正想说而又不便说的话是“无限多位的自然数不存在”。其最终目的是为了反驳对称后的无限多位小数的存在。可谓“反反驳”。反反驳非常乏力，不堪一击。用反证法就能清除：
（一）假设，只存在有限多位自然数，就必存在一个最大的、位数最高的、有限多位自然数，可写成10^ｗ-1 ，其中Ｗ非常大，它由Ｗ个9组成。
（二）举出反例，10^(ｗ+1)-1这个自然数由Ｗ+1个9组成，比这个所谓最大的自然数更大。原先的假设就立即被击得粉碎！（^为乘方符号）。
（三）既然假设被归为荒谬，就被证明无穷位的自然数是真实存在的。并且根据镜像对称，也因此证明无穷位小数一个不漏地全部列出来了。
定理与反驳、反反驳，及其再反驳，最终无法反驳而闭上嘴巴，无可奈何！随之“百年常识”就化为乌有，建筑在此基础上的一些其它定理、学说、猜想、悖论等，也在顷刻之间倒塌，最终必将迫使：或废弃、或修正。
兰佐斯用深入浅出的语言把深奥的集合论基本定理说得清楚明白。而我又用一句话击中它的要害处。连同简单的镜像对称证明，作了双保险。往往证明越简单越强有力，有漏洞会一目了然无处掩盖，也无法故弄玄虚。只要具备初中数学水平，任何人都能理解和判断。
上述原本仅属于纯学术的大笑话，看来要超越它的疆界，正在酝酿超级大笑话了。前后一年多，我投稿的数学期刊及有关管理部门和媒体，都无反应。当年空前激烈的三大学派大论战，已转换成今日死一般的寂静！尊重科学、实事求是、勤政、公正、廉洁，天天念经，真谛何在？为什么不作为？是歪嘴和尚的骗人术吗？所谓科学，所谓实事求是，如此虚伪吗？！连新任中国科技部长在07.5.30和6.12也以“忙于宏观管理无法抽身为由”拒绝看一眼我的文章。但总算能命人代回信比其他官僚好多了。我问：反映学术界腐败现象不属于部长的宏观管理范围吗？拒看、未审先毙、“踢皮球”（注）正常吗？当年普朗克的科学发现尚能遭遇反对声，而不理睬的反对方式，远比遭遇“普朗克原理”（注）更可鄙。无反应的原因，仅用枚举法就可确定：
1.看不懂。不可能！看不懂也该回应，或指出错误，退稿。但连初中生都能看得懂，难道学者们，连四十五个字简单概念都不懂？！
2.没有意义。不可能！更正一个重大定理，比解决一个重要猜想更具意义！不久前庞加莱猜想已被证明，成为美国《科学》周刊2006年国际十大科技进展之首。而数学基础的修正，其意义更为巨大，影响更为深远！
3.学术腐败。学术民主严重缺乏，审稿及评审制度极端混乱。
不久前，被菲尔茨奖获得者、哈佛大学数学讲座教授丘成桐痛斥的我国数学界学术腐败，就是唯一的原因！                        
注：
“百年常识”
康托尔关于“全体小数多于全体自然数数量”这个集合论基本定理，极为著名，也极为普通，随处可见。直到如今，仍然成为在数学科普读物中，经常出现的常识。或介绍这个结论，例如：[美]阿西莫夫著的《数的趣谈》P84 上海科学技术出版社1980年12月第1版；欧阳维诚 著的《数学科学与人文的共同基因》P93 湖南师范大学出版社出版2000年7月第一版…等；或展示他的证明。例如：[美]Ｇ.盖莫夫 著《从一到无穷大》P17、P18 科学出版社出版 1978年11月第1版；张锦文著的《集合论与连续统假设浅说》P49、P50 上海教育出版社 1980年6月第1版；[英]兰佐斯著的《无穷无尽的数》P163、P164 北京出版社1979年11月第1版…等；最近介绍这个证明的，就出现在张景中院士和任宏硕教授合著的《漫话数学》P137、P138 中国少年儿童出版社 2003年8月第1版，2004年10月第4次印刷的科普读物中。可见这个“百年常识”影响已经很久很广。其中《从一到无穷大》用数学贯穿全书，是一本被公认为能一读再读的最著名的科普经典，自问世以来，多次出版，并被翻译成许多国家的文字。许多第一流科学家高度评价这本书。

“踢皮球”
集合论是数学基础，被公认为现代数学范畴。公元前6世纪到公元17世纪的两千多年间，以常量理论为基础的算术、几何、代数、三角等，属于初等数学。而上海大学自然杂志编辑部武断地认定：集合论问题属于初等数学范畴，因此以鄙视作者的方式2006.9.1发出一封没有称呼、没有落款的一句话回信“请作者改投相关的初等数学专业杂志”。把这个皮球踢向远方。

“普朗克原理”
著名科学家普朗克曾说：“新的科学真理不是靠反对者信服和使他们看到光明而成功，而是待它的反对者最终死去，由新一代所接受。”这一段话，看起来显出刻薄和愤恨，但很深刻。早已被科学界戏称为：“普朗克原理”。（摘自《人才》杂志1981.8 P44）
                                                                   作者：任月扬
                                                               时间：2007.07.01

木直清风

数学丧失了真理，却使数学获得自由。    Cantor

ganshide

非常理解作者的心情。康托尔的理论是建立在悖论的基础上，用庞加莱的话说：是一种邪恶的疾病。广州的黄小宁、北京的饶钢与您有同感。

顽石

下面引用由ganshide在 2007/07/03 09:11am 发表的内容：
非常理解作者的心情。康托尔的理论是建立在悖论的基础上，用庞加莱的话说：是一种邪恶的疾病。广州的黄小宁、北京的饶钢与您有同感。

谢谢两位先生的理解和鼓励,我已经到了几乎无助的地步,两位的几句话使我倍感温暖.我正在博士家园网与几位并不友善的读者进行交流,请您们注意.
                             苏州已经退休的高级工程师任月扬向两位先生问好!

hxl268

[0，1000]内99.9％的数x都无对应数x/1000
http://bbs.ucity.cc/viewthread.php?tid=18167

FARSPACEMAN

       “但令人哑然失惊的是，对上述的反证法证明，只用一句话轻而易举就能推翻：将上述的十进制数对角线法证明全改为二进制就只能产生唯一的新无尽小数0.10101…，而不是无穷多！不信？您就去看看括号内二进制小数的对角线是什么小数？0.01010…，哑口无言了吧？！”
       上面观点的错误是显然的。将第一行的小数放到第二行，将第二行的小数放到第一行，再用对角线法，就会立即得到不同于0.10101…的小数。这样通过改变某个小数所在的行数，再使用对角线法，还是可以得到无穷多个不同的小数。看来，你并没有透彻理解“对角线法”，而是生搬硬套，盲目推理，难怪会得出荒谬的结果。
       希望“顽石”看了这个回帖后，好好想想自己的想法到底是不是有错误。

顽石

下面引用由hxl268在 2007/07/08 10:09am 发表的内容： 内99.9％的数x都无对应数x/1000
http://bbs.ucity.cc/viewthread.php?tid=18167

自然数:1,2,3,4,5,...,998,999,1000.对应小数:0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,...,0.899,0.999,0.0001.虽然小数变得大小混乱,但集合论不计较数的大小,只计较两者的多少.

顽石

下面引用由FARSPACEMAN在 2007/07/08 10:34am 发表的内容：
“但令人哑然失惊的是，对上述的反证法证明，只用一句话轻而易举就能推翻：将上述的十进制数对角线法证明全改为二进制就只能产生唯一的新无尽小数0.10101…，而不是无穷多！不信？您就去看看括号内二进制小数的　...

康托尔的对角线法是在两者一一对应完全结实后,才去找出反例的.这是比赛规则所规定.而不是还在过程中忙着找茬.

顽石

按照皮亚诺公理可推出不存在无限小数的结论
    如果皮亚诺公理是正确的话，那么，如下逻辑没有矛盾，推出的结论也是正确的：
    一.自然数0，1，2，3，…，n，n可趋向无穷大。但是，皮亚诺公理规定，每个自然数都是有限大的；负整数-1，-2，-3，…，-n，n可趋向无穷大，同理，每个负整数也都是有限大的。
    二.将这些有限大的正、负整数n和-n，作为10的乘方数，就得到有限位10^ｎ型自然数和有限位10^-ｎ型小数。
    三.使用有限位10^ｎ型自然数和有限位10^-ｎ型小数，就得到如下有限位循环小数：
    （10^ｎ-1）（10^-ｎ）= 0.999…99，
    这个小数由小数点后面的ｎ个9组成，根据皮亚诺公理规定ｎ是有限大的，因此0.999…99是最大的十进制有限位循环小数。
    四.因为其它真小数都超不过这个小数，因此，可以得出结论：不存在无限小数！包括无限循环小数和无限不循环小数，都是不存在的。

hxl268

原创]0.333....是一类无限逼近1/3的“更无理”数[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 hxl268 在 时添加 -=-=-=-=- 再论小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误(上网版) ——不识“更无理”数必使人犯极低级错误 （此文经编辑改标题公开发表在《教育前沿》2007（12）） 黄小宁 通讯：广州市华南师大南区9—303第二信箱，510631 [摘要] 削足适履地定义非0误差0.999…—1= 0就是定义1/10n→0能到达0处，这是小学生也能一眼看出的违反起码数学常识的重大错误。将无穷多个数定义为一个数显然是以球为宇的极荒唐错误思想方法。此方法成功地掩盖了这一事实：无限循环小数是异于任何已知数的“更无理”数、已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球罢了！ 关键词 小学数学；2500年常识性错误；分形几何；0.99…≠1；有首、末项的无穷数列；无限循环小数并非有理数 早在认识无理数之前数学家们就断定1—0.99……= 0了。其实这是2500年的常识性错误。 一再获此发现的关键是常识：变量必可遍取变域内的每一数即必可将变域内的数全部取出。将无穷多个数定义为一个数显然是以球为宇的极荒唐错误思想方法。要害是破解数学难题如破案，要过细，粗枝大叶往往搞错：将非0误差定义为0误差。小学生也一眼看出“长度为0的点能组成有长度的线段（点集）”是典型的违反常识的无中生有论啊！ 太使人承受不了的发现来自于太浅显的常识：由大到小取值的变量要取出x必先将变域内一切比x大的数全部取出。 一、对变量与无穷集不能只有一知半解的肤浅认识，更不能有错误的认识 无穷集B=[a, b]内也有该集的最小、大数a与b。变域为B的x由大到小一次次取值，必能有最后一次的取值：取到a后就无数可取了。即其取数过程是有完有了、有始有终的。这是“无穷无尽”与“有穷有尽”的对立统一性在数学中的生动体现。地球与宇宙相比是极小极小…（无穷多个极小）的无穷小天体，但其与人相比又是有穷小天体。这是宇宙中“无穷”与“有穷”的对立统一性。又例如无限可分的原子就是“小宇宙”。人不可将无穷集内的数全部取出，≠相应变量不能。对人而言B内数多得取之不尽，但相应的变量x却可取尽B内数，正如人制造的机器人能干人所不能干的事一样。此由大到小取值的x必取尽无穷集(a，b)的一切数后才取a,即其必取至再也无除a外的任何数可取了,才取a。数学有定理断定此x在→a的过程中总与a相隔无穷多个属B的数，即说其总远远不能取尽“吃光”a与b之间的数，从而更不能到达a处。这显然是违反起码数学常识的定理。所以如[1]所述在B中必有紧贴a的数x＞a与a之间没有任何可取的数了。同理B各元x必有与之紧贴的数。限于篇幅本文只揭数学内违反常识的错误的冰山一角。常识：沿x轴运动的动点由位置b处运动至a处必遍经两处之间的一切位置之后才能到达a处。 关键：变域是变量所有能取的数组成的数集。故凡变量必能有序地遍取其变域内的一切数。不明此理者，对变量的认识还未入门。凡变量必有变域，无穷大是取数的变量。 由大到小取值的y=x•x≥0必取尽变域H内的一切正数后才能取0，即其必取到无正数可取了，才取0，正如由大到小取值的x必取0之后才能取负数一样。由一切非负实数组成的数集中有最小数0，同理，在无穷集H中必有最小正数y=c。y取c后就无正数可取了。因为若说此y取正数的过程没完没了，显然就是说其不可取尽变域的一切正数，从而更谈不上能取0。这显然违反起码数学常识。所以在H中并非任何正数y都有同属H的对应数y/2等。如根号2不能纳入有理数系内一样，有太小正数也不能纳入H内。 对无穷现象的幼稚认识使世人误以为有首项的无穷数列必无末项。设空箩筐K装进了无穷数列A：1，2，3，…，n，n+1，…的一切数， 这一切数组成数集D。变域为D的n必能由小到大地将D内数全部取出，从而使K变得空无一数。若K内总有数，那就表明相应的变量不能将K内数全部取出，即其变域必非D。说变量n每取出一数n（n所取各数也均由n代表）后，K内总至少还剩有一数n+1，即K总不能变空，显然就是说此n不能将K内数取尽。能将K内数取尽的n在由小到大取值的过程中必能取至一n后就无数可取了，此n的后继n+1不属D；此n显然就是数列A的末项。文献[1]论证了任何正数集均有该集的最小、大正数。小学生也一眼看出y = n+1＞n=1，2，3，……表达y可＞数列A的一切数，即其必可取D外数y＞D的一切数n。可见表达式限制式中n不可取一切非0.自然数。形成鲜明对比的是n-1＜n=1，2，3，……中的n就可取一切自然数。不能头脑简单地断定数列A包含一切非0自然数啊！这充分说明：①D内必有一n的后继n+1是D外数。②若D各元n均有对应数n+1，则并非这所有的n+1都还在D内。即n+1的变域不是D的真子集。 二、对极限论不能只有一知半解的肤浅认识 因为A是无穷数列，所以A中必有n与1相隔写不完的那么多个自然数，此n＞“任给定”正数M显然是无穷大自然数。否定此事实与否定根号2是无理数一样都是极荒唐的。极限论断定n→∞变至后来所取各数n均＞任意给定的正数M = 1/ε。极限论断定无穷数列{1/n}中从某项开始以后各项均＜“任意给定”的正数ε。正实变量x→0从某时刻起以后所取各正数x均＜ε。可见，极限论间接断定有正数＜ε及有其倒数。不明此理的极限论之父对极限论的认识还很肤浅。这使数学一直存有起关键作用而又用而不知的“特异”数，正如原始人对氧气一直用而不知一样。不懂这类数就不懂微积分的精髓，更使数学无法自圆其说。 “不能将D内数取完”本身就表示取数的变量的变域绝非D。若每打死一只狼n都必有一前仆后继的后继狼n+1扑上来，则打不尽狼决不下岗的战士永不能下岗，因其不能将狼打尽。所以能打尽狼的战士必能打至一狼n后就无狼可打了。即在狼群D中并非每只狼n都有后继n+1∈D。根据变域的定义，凡变量必能有序地取完变域内的一切数。据此，D内必有最大的n。又例如：在“分形几何”中有一“柯赫岛折线”是闭折线，它所围成的图形的面积是常数1，而图形的周长却是>“任给定正数”M的“无穷大数”。将折线剪断拉直，就成为无穷长直线段了。这是有始点与终点而长度却是无穷大的直线段l。否则此l就不能还原为原来的闭折线了。数学中只能在自然数集N内取值的n可→∞表明N内暗含有＞M的数。极限论断定无穷数列{n}中从某项起以后各项均＞M。 将不能将D内数取尽的变量的变域误以为是D就是搞错了变量的变域。这是根本性的错误。没能及时发现，就必引出一连串的重大错误。例如康脱推出D各元可与其真子集各元一一对应。 文献[2]：“|Cn|可以变得超越任何有限数（对随便什么M＞0,它都能变得比M大），…{Cn}的极限是∞。”这“超越任何有限数”的|Cn|＞M显然是只能与无穷长直线段相对应的无穷大正数。 无穷数列0.1，0.01，0.001，……的各项均为正数且第n项是n位小数，数列的任何小数都有末尾且末尾都是1，各末尾外的数字都是0。由于这是无穷数列，故其必有无穷多个小数位的无穷小正数0.00…01＜ε（1与小数点相隔写不完的那么多个0）。然而这却是有头有尾的一串数字。不明此理者不知何为无穷数列、不知何为极限论。无穷数列的各项均为具体的、确定的数。可见有无限长的数列0，0，…，0，1。 三、不明以上真相的数学教师以讹传讹误人子弟 由1÷3的除法运算可知 1=3•0.3+余数0.1 =3•0.33+余数0.01 =3•0.333+余数0.001 ••• =3•0.33…3+余数0.00…01（省略号表示的0多得写不完,正如1与2之间的数多得写不完一样。） ..... 1÷3除不尽说明以上各个余数全不为0。以上余数组成的无穷数列F={1/10的n次方}，其n＞1/ε=M的各项均为形如0.00…01（n＞M位小数）的无穷小正数＜ε。所以定义无穷多个9的0.999…=1就是定义数列F中的无穷小数为0——这显然是常识性错误！同理，定义0.33…=1/3也是常识性错误！…。F中显然有无穷多个无穷小正数。 不少小学生均能根据以上余数均非0而正确地察觉到形如0.99…的数无限逼近1，但≠1。然而老师们却硬说学生们不对。定义1/10的n次方→0能到达0处，显然是常识性错误。真相是1=0.99…9+非0余数0.00…01（两项均为n=n0＞M位小数）。注：变量n＞M所取各数均为＞M的无穷大自然数。0.99……表示的是一类数而非一个数。 以上表明无限循环小数是异于任何已知数的“更无理”数。由发现无理数到发现更无理数竟须历时2500年！但小学生们能一眼看出0.99…无论有多少个9都≠1。数列F是无穷数列的标志是数列中有无穷多个小数位的无穷小正数。 以上表明定义无穷级数0.9+0.09+0.009+…的所有项的和=…的极限1，是错误的定义。无限逼近与重合相等是两个根本不同的概念。由上可见任何已知实数x均有无穷多与之无限逼近而又不重合的“特异”数x±a（a＜ε且＞0）。故已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球罢了！没有受到以球为宇重大错误误导的小学生能一眼看出……。受错误知识严重伤害的“官科”的知识水平远不如…啊！康脱将有无穷多个正数的“基本数列”F定义为一个数0。小学生也一眼看出这是典型的以球为宇的思想方法。 反复强调：无限长的数列也可有首末项。0.00…01（由写不完的0与1个1组成）+相应的0.99…=1。数列F某项=1—0.99…=0.00…01=dx的数字0多得写不完，但不能因此断定小数点后面全是0。否则就误以为1/dx=1/0了。dy=dx/100<<正数dx表明dx也有 相比下>>0的性质。微分是取数的变量！ 参考文献 [1] 黄小宁 再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见： 中 国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814 [2] 周伯壎 数列与极限[M]，江苏人民出版社，1978.12：27。 [3] 黄小宁 小学数学也有小学生也能察觉的常识性错误,学习方法报•教研版[N]，2002.12.27第345期。 [4] 黄小宁 小学数学显示无限循环小数并非有理数，见：中国学校教育研究•数学卷[C]，北京：中国统计出版社，2001.12:103。 完成于2006.3.22，改进于2007-2-9。电子信箱：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母） 电 话：020-88506843