可数集和连续统

顽石

可数集和连续统
任月扬
张景中院士在谈到小数的连续统时说：“设想用一把锋利的刀猛砍数轴，把数轴砍成两截。这一刀一定会砍在某个点上，即砍中了一个实数。如果能够砍在一个缝隙上，数轴就不算连续的了”（张景中院士和任宏硕教授合著的《漫话数学》P29、P30 中国少年儿童出版社 2003年8月第1版）。其意明确：连续统无缝隙不可数。并且引用德国数学家戴德金的实数分割理论：所谓数轴的连续性就是不管把它从什么地方分成两半截，总有半截是带端点的。点不可分割，因此另外半截没有端点。
笔者要问：另外半截的没有端点这四个字是什么意思？是指一段空白吗？这段空白是缝隙还是距离？空白后的点与前半截的端点这两个点的关系如何？连？不连？无缝隙的连是重合为一个点？连续统，充满矛盾和悖论，不能自圆其说。我们还是从数的排列开始说起吧。
一.自然数和小数的排列
（一）小数的非常规排列
Ａ排列：每一个自然数可用一个点来表示。便于左右翻转的全体二进制自然数序列为：1，10，11，100，101，110，111，1000，…。（即：全体十进制自然数序列1，2，3，4，5，6，7，8，…。）可以在一条向上的无穷长直线上，以等距点的形式依次列出来。若将无用的“.0”这个尾巴装配在这些二进制自然数中，那么，全体二进制自然数序列就变成：1.0，10.0，11.0，100.0，101.0，110.0，111.0，1000.0，…。也即自然数的常规排列。为叙述方便上述称为Ａ排列。
Ｂ排列：若将这些小数点看作向上无穷排列的等距点，左边是全体二进制自然数，右边全是0，如端点0.0到1.0，是第一个等距离线段，设端点0.0为Ｏ，以Ｏ点为中心，转动180度，就得到一条向下无限延伸的直线，全体二进制自然数排列，立即变成全体二进制小数按位数高低的依次排列：二进制小数1位有1个0.1；2位有2个0.01，0.11；3位有4个0.001，0.101，0.011，0.111；4位小数8个，5位小数16个；6位小数32个；…，ｗ位小数2^（ｗ-1）个；ｗ+1位小数2^ｗ个；…等。ｗ趋无穷大。（^为乘方符号。如2^ｗ，表示为2的ｗ乘方幂，以下同。）
虽然这些小数排列位数高低有序而大小无序，紊乱不堪。但是，全体小数包括无穷多位小数一个不少全部列出。这就是小数的非常规排列。其二进制小数的数量以几何级数的爆炸速度不断倍增。
这种向上依次等距排列的自然数和向下按照位数高低有序等距排列的小数，它们的排列，所形成的位数边界曲线非常美丽，是一条向上下无限延伸的Ｓ型线条。我们还可将向上无限延伸的代表全体自然数的直线和向下无限延伸的代表全体小数的直线，浓缩成两条线段。现作如图一说明：首先，在向上下作无限延伸的垂直线的Ｏ点处，向右边引出水平线ＯＨ，通过Ｈ点，再作垂直线段ＡＢ，Ｈ点处于ＡＢ的中点。连接ＯＡ和ＯＢ，形成两条斜线段。水平线ＯＨ向Ｏ方向作无限延伸。其次，水平放射线ＯＨ，以Ｈ为中心，向顺时针方向旋转至ＨＡ止，同时扫过向上无穷长直线和ＯＡ斜线，与直线和斜线相交，如交点Ｄ和Ｃ一一对应，因此，将无穷长直线上的全体自然数一一对应到了ＯＡ斜线上。向逆时针方向旋转至ＨＢ止，同时扫过向下无穷长直线和ＯＢ斜线，与直线和斜线同时相交，两者的交点皆一一对应，因此，直线上的全体小数一一对应到ＯＢ斜线上。将直线上的无穷多的点浓缩到一条不长的线段中。这个事实清楚表明，这类无穷过程，皆能完成。
（二）自然数的非常规排列
Ｃ排列：在0至1这条线段中，包含小于1、大于0的全体小数。一般总是按照大小有序的依次排列。但是，因最小的小数无限接近于0，是个具有无穷多位的无法捉摸的小数，当然无法从最小的小数开始数。同样，也无法捉摸到最大的小数有多少的位数，而只能笼统地说有“小数点后有无穷多个9组成的小数位数无穷长”。代表每个小数的点，极为致密地排列在一起，因此，这些无穷多个小数被称作所谓不可数的“连续统”。
为了具体描述小数的致密排列状况，我们可用代表二进制小数的点，在左端为0右端为1的线段上，作如下顺序的点子均匀分布：
1.二进制小数0.1是1位小数，仅为1个；点在线段的中心位置上，这就将1条线段分成为左右两半截线段。
2.二进制2位小数共有如下两个：0.01、0.11，依次点在左右两截线段的中心，从而形成4条连续的线段。
3.二进制3位小数共有如下4个：0.001、0.011、0.101、0.111，依从小到大从左至右，点在上述4个线段的中心，又分出8个线段。
4.如此，与8个线段相应的是如下8个4位小数0.0001、0.0011、0.0101、0.0111、0.1001、0.1011、0.1101、0.1111，又可分出16等分线段。16个5位小数分出32等分，32个6位小数分出64等分，…，如此等等。
5.依照上述方法不断分割线段，使线段数量与小数的非常规排列那样也以几何级数的爆炸速度不断倍增。将相应的2^ｗ个ｗ+１位长度小数，依照数值从小到大顺序，皆点在2^ｗ条等长线段的中央。全体小数包括无穷多位小数，皆出现在0至1的线段上了。这样，无限次继续下去，直至被分割的线段越来越短，使点与点的距离越来越趋向于零。这就是所谓的“连续统”。但相邻的点与点的距离永远存在。线段被称为“一维空间”，不断地将这些线段一分为二，产生更多更细微的空间，这个过程永远不会消失。这比中国古代哲学家所说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的情形更进一步，后者为：制造一个微小线段的过程永远不会完成；前者为：制造无穷多个微小线段的过程永不结束，即0至1线段被无穷多个无穷小线段所填满！
Ｄ排列：将0至1的线段作整体左右翻转，奇迹就发生了：全体小数立即变成了皆带着“.0”尾巴的全体自然数！这些自然数去掉这个尾巴，就与全体普通二进制自然数完全相同，仅仅是排列形式不同、大小无序罢了。这个形式的排列，就是全体自然数的非常规排列。
二.可数集和连续统的理论充满矛盾和悖论
根据上述自然数排列和小数排列的演示，已经总结出如下四种情形：
Ａ排列，为自然数的常规排列，标准可数集。
Ｂ排列，为小数的非常规排列，自然数翻版，连续统变可数集。
Ｃ排列，为小数的常规排列，所谓标准连续统。
Ｄ排列，为自然数的非常规排列，小数翻版。可数集变连续统。
按照康托尔的集合论，比较两个无穷集的数量，若能建立一一对应关系，就被认为两者数量相等，否则为数量不相等。而与点的数值大小、点与点的距离长短、点的排列顺序…等等无关。集合论认为连续统不可数，可数集与连续统。两者不能建立一一对应关系。因此全体小数的数量多于全体自然数。早已变成“百年常识”。而上述的连续统变成可数集，可数集又变成连续统，无法阻止两者的变换。据此可证明代表全体自然数数量的Ａ，与全体小数数量的Ｃ，数量相等。
求证：Ａ=Ｃ  证明：∵Ａ=Ｂ  ∵Ｂ=Ｃ  ∴Ａ=Ｃ  证毕。
上述证明是非常典型非常简单的逻辑：因为Ａ排列与Ｂ排列，是镜像对称，如同互为翻版，无疑两者一一对应，两者数量相等，因此Ａ=Ｂ ；又因为小数的Ｂ非常规排列，小数的Ｃ常规排列，虽排列方式不同，但都同样以2^ｗ 的爆炸速度倍增，丝毫也不影响全体小数一个不漏地同样都列出，因此两者数量相等，即Ｂ=Ｃ，所以就有：Ａ=Ｃ，也即自然数小数两者等量。
康托尔当年有个连续统假设：不存在一个集合，它的元素比自然数多，但比实数（全体小数）少。歌德尔证明了连续统假设成立，而科恩又证明了这个假设不成立。如果笔者上述的证明被数学界确认，那么康托尔集合论的核心理论、连续统假设、两位著名数学家的证明及其它相关理论和悖论，立即化为乌有。集合论这个数学基础塌陷！
三.“无缝隙连续统”的巨大漏洞
小数连续统是个充满无穷多个微小漏洞的不挡风的“筛子”，空空如也。所谓无缝隙连续统之说，无稽之谈。这可用以下归谬法证明：
1.假设：在全体小数中，各代表不同小数的相邻两个点之间没有缝隙。也即假设：所有的相邻两个点之间为零距离。
2.因为每个点，都没有宽度，所占的线段空间为0，所以代表全体小数的无穷多个点本身相加，所占线段的总空间也为0；按照假设，相邻两点的间距无缝隙，零距离，所占线段长度也都为0，从而全体小数之间的无穷多个零距离总和也为0，就推断出0至1的线段长度也为0，这与0至1线段长度明明为1的事实相矛盾。其实是无数微小缝隙组成了大漏洞。
3.假设导致荒谬，因此所谓全体小数是个“无缝隙连续统”纯属虚幻的想象。上述推理所得事实表明，缝隙真实存在。证毕。
四.难以回答的问题
图一的ＯＢ线段，经过ＯＨ放射线同时扫过代表无穷长Ｏ至1/∞的直线和ＯＢ线段，将Ｏ至1/∞直线中全体小数全部浓缩到了ＯＢ线段上了。ＯＢ上的全体小数与0至1线段上的全体小数一样多，ＯＢ线段与0至1线段一样长。但是0至1线段中的全体小数密度是均匀分布的，而ＯＢ线段上的全体小数的分布却从Ｏ端的小数相对稀疏排列到Ｂ端的密集排列，是逐渐演变过渡的。符号∞/1代表无穷大，1/∞代表无穷小。这样就产生以下四个问题：
(一）Ｏ至无穷大的直线，包含无穷多的全体自然数；Ｏ至无穷小的直线，包含无穷多的全体小数，按小数的位数从低到高，是自然数可数集的翻版依次可数。ＯＢ线段全体小数，仅仅是Ｏ至无穷小直线可数集全体小数的浓缩，因此ＯＢ线段全体小数也为可数集。问：ＯＢ可数集全体小数，与0至1连续统全体小数，两者的小数平均密度是否一样？
（二）ＯＢ线段从Ｏ开始就有大缝隙逐渐演变到越接近Ｂ，缝隙越小，缝隙是否会消失？若消失就质变成没有缝隙的连续统，问：质变点在哪里？
（三）如果ＯＢ可数集全体小数的密度小于与0至1连续统全体小数的密度，但因，ＯＢ线段与0至1线段，两线段包含小数一样多，线段长度也一样长，因此平均密度相同。又因为ＯＢ线段可分为前后两半段，前半段缝隙大后半段缝隙小，后半段小数平均密度必定大于ＯＢ线段平均密度，也因此大于0至1线段小数平均密度。问：可数集小数密度大于连续统小数密度吗？
（四）无穷大无穷小不是数，是趋向。凡是线段中每个点都是数。∞/1和1/∞分别被对应到线段中的Ａ端点和Ｂ端点，问：两端点是数还是趋向？
五.问题的实质
全体小数是否多于全体自然数的数量？其实质就是小数的两个相邻的点与点之间距离是否存在？即实数连续性有缝隙还是无缝隙？我们还是再从十进制的自然数和小数的排列、比较、逐层分析开始：
（一）为叙述方便，我们随意定出一个长度，如1厘米长的一条线段作为1个标准等距单位。自然数间距0，1，2，3，…，皆为1个标准等距点。小数0至1为1个标准间距，扩放时可以变成很多标准等距。
0至1的距离不变时，相邻两个同位小数间隙，随着位数递升，小数总量按10倍递增速度而越来越靠近，趋向无穷小，因此被认为无缝隙。为使缝隙看得真真切切，采用逐次升位放大法，使缝隙变成固定不变的标准等距，而每次插入的更高位次小数，以扩大成标准等距的数量形式表示，小数总量仍按10倍递增的速度保持不变。
（二）自然数：0至1线段，从端点1开始，延长8个标准等距，每个端点依次代表1，2，3，4，5，6，7，8，9，共9个1位自然数。
小数：0至1线段中，切入9个点，将线段切成10个小等距线段，每1个切入点依次代表0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，共9个1位小数。将0至1线段扩放10倍，使10个小等距变成10个标准等距。
（三）自然数：从9开始，延伸出90个标准等距，每一个端点依次代表10，11，12，…，98，99共90个2位自然数。至此总共有99个自然数。
小数：在10个标准等距中，皆切入9个点，合计90个切入点，切成100个等距小线段，切入点依次代表0.01，0.02，0.03，…，0.98，0.99合计90个2位小数。再扩放10倍，使100个小等距变成100个标准等距。因为最后1个标准等距端点为1，不是小数，因而至此总共有99个小数。
（四）自然数：从99开始，延伸出900个标准等距，每一个端点依次代表100，101，102，…，998，999共900个3位自然数。至此总共有999个自然数。
小数：在100个标准等距中，皆切入9个点，合计900个切入点，切成1000个小等距，切入点依次代表0.001，0.002，0.003，…，0.998，0.999合计900个3位小数。再扩放10倍，使1000个小等距变成1000个标准等距。除去非小数1，至此总共有999个小数。
（五）自然数：从Ｗ个9所组成的自然数开始，延伸出9×10^ｗ个标准等距，每个端点依次代表9×10^ｗ个ｗ+1位自然数。使自然数增至10^（ｗ+1） -1个。ｗ趋向无穷大。
小数：在10^ｗ个标准等距中，共切入9×10^ｗ个点，能切成10^（ｗ+1）个小等距，依次插入9×10^ｗ个ｗ+1位小数。再扩放10倍，变成10^（ｗ+1）个标准等距。除去非小数1，至此共有10^（ｗ+1） -1个小数。ｗ趋向无穷大。
根据上述分析，清楚表明以下三个事实依据：其一，表明了自然数与小数全部列出。代表自然数的直线，可以无限延伸出无穷多个标准等距点；代表小数的线段，也同样可无限扩放出无穷多个标准等距点。谁也无法阻止这种无限延伸和无限扩放！表明全体自然数包括无穷多位自然数已全部列出，也表明全体小数包括无穷多位小数也一个不漏地全部列出。
其二，表明了全体自然数和全体小数一一对应。全体自然数和全体小数不同位置的层层对应。若将每1个自然数，皆装配上无用的尾巴“.0”，则相应的自然数和小数在每个数的构造上也一一对应。例如自然数23048715.0与小数0.51784032，两者的构造互为对称。
其三，表明了小数与自然数一样，数与数之间皆存在间距。所谓小数连续统无缝隙之说，不攻自破。
既然集合论允许只研究自然数和小数的数量关系问题，而不管两者的排列方式、顺序、距离等有什么不同。那么，我们完全可以将小数的数值从小到大排列方式，变换成按照自然数那样的位数从低到高排列方式（即上述的Ｂ排列方式），这样，全体小数与全体自然数之间，不同位置的一一对应，又变成了互为镜像的相同位置的一一对应。两者数量相同，不言而喻。
这个常常被人们武断和随意地略去的、被二百多年前持反对态度的英国大主教贝克莱戏称为“逝去量的鬼魂”的无穷小量，已经被变换成与自然数那样的标准等距，并且有无穷多个。0至1无止境扩放长度的线段，被无穷多个标准等距所填满。若将线段的0端点固定，而将线段的1端点，作为无限扩放端，那么，线段作无限扩放的速度，与自然数直线的无限延伸速度，完全相同。完全同步。
线段既然能扩放，就同样能缩小。将无穷长线段回缩成一个有限长的线段，则无穷多的标准等距，皆变成无穷多的无穷小等距。表明0至1线段，被无穷多个无穷小等距所填满。全体小数之间是否存在缝隙？每个无穷小等距是否就是缝隙？这就是问题的实质。面对上述这个尖锐的问题，人们是否有足够的勇气和智慧来回答是？或者不是？人们是否真正信奉实事求是这一科学的最高信条？人们是否能大胆挑战百年常识、挑战顶尖权威，承认上述这样明白无误的推理，所得到的事实？这就是更深层次的实质问题所在！

木直清风

只要思考物理里的质量和能量的转化关系，连续统还是可以好理解的。
就如思考物质的无限可分一样，到足够小时便转化为能量。当然，也有理由说物质的连续是由空间或能量来结合的， 只不过具有不同的形态。

wyrnjia

“...将无穷长线段回缩成一个有限长的线段...”？

　　阿啦弗懂啊－－

顽石

下面引用由wyrnjia在 2007/07/11 10:27pm 发表的内容： “...将无穷长线段回缩成一个有限长的线段...”？
　　阿啦弗懂啊－－

怎样走过去,就怎样走回来

顽石

实际上只有可数集,而连续统并不存在!!!

姓毛的主席

楼主

有没有听说过相对论

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数学爱好者A

[这个贴子最后由数学爱好者A在 2008/06/23 11:13am 第 1 次编辑]

下面引用由顽石在 2008/06/21 10:17am 发表的内容：
实际上只有可数集,而连续统并不存在!!!

这是驴学第一定理！

顽石

    有和无是绝对的.而多与小,长与短,大与小,都是相对的.所谓的"连续统"不承认点与点之间永远存在有间隙的事实,是完全错误的![br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 顽石 在 时添加 -=-=-=-=-
而多与少,长与短,大与小,都是相对的.

数学爱好者A

[这个贴子最后由数学爱好者A在 2008/06/24 06:00pm 第 1 次编辑]

下面引用由顽石在 2008/06/23 00:13pm 发表的内容：
有和无是绝对的.而多与小,长与短,大与小,都是相对的.所谓的"连续统"不承认点与点之间永远存在有间隙的事实,是完全错误的!-=-=-=-=- 以下内容由 顽石 在  时添加 -=-=-=-=-
而多与少,长与短,大与小,都　...

这是驴学第一引理

顽石

    数A先生对基础数学认知，基本体现在对《自然数两大问题》一文的争论中，可查。我略微给他整理一下。他认为：
    （1）实无穷和潜无穷没有矛盾。
    （2）数学不需要想象力，也不需要构造。
    （3）∞不是阿列夫0，∞^∞不是阿列夫1。
    （4）所有自然数全部都是小数。
    （5）任何两点之间永远都可插入1个点，但两点之间不存在缝隙。
    （6）0.33333…中的3，在人类之前就已经写完了！