求y^x=x^y的图象

genify

有谁能给我y^x=x^y的图象，以及与此函数相关的信息

luyuanhong

下面是 y^x=x^y 的图像：

luyuanhong

下面证明有关 y^x=x^y 图像的两条性质：

genify

但是在第二三四象限的图形呢

luyuanhong

当 x<0 或 y<0 时，y^x=x^y 只有在一些特殊情形下才有意义，对于大多数实数来说，它是没有意义的，所以不可能有连续的曲线。

genify

我想问问luyuanhong 先生，这图像你是用什么方法得到的
我需要具体的求解过程
我希望的是在草稿纸上算出来的，不是直接用软件画的
还有，能不能找到一个这个函数的参数方程

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/18 09:08pm 第 1 次编辑]

这些图像是用我自己编写的作图软件画出来的。
“我希望的是在草稿纸上算出来的，不是直接用软件画的”是什么意思？是不是说希望用一个公式算出图上点的坐标？
要计算图上点的坐标，可以编一个计算机程序、或用手工在计算器上反复迭代计算出近似值。
但是，要写出一个精确的显函数表达式，例如写出一个参数方程表达式，看来是不可能的。

genify

当然不一定是要求出精确的点，仅做出草图也可
这题的本意应该是要我们在纸上画出函数的图像
对与它的参数方程，我已经求出一个，但不太确定
在第一象限的参数方程是x=t^(1/(t-1)),y=t^(t/(t-1))
其中t=y/x
简要求法是，令y=tx，代入原方程，得(tx)^x=x^tx
约去x，便可得（当然还差一条y=x）
其他象限求法类似
我提出这题目是想看有没有其他更好的方法，以及得出的更多关于这函数的信息

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/18 09:08pm 第 1 次编辑]

我还以为不可能求出参数方程呢。
既然楼主 genify 能够求出参数方程 x=t^(1/(t-1)),y=t^(t/(t-1)) ，就可以算出曲线上各点的坐标，那就太好了。