（原创数学问题）一个看似容易的证明题——如何推广？

淡宁居士 · 发表于 2005-5-29 18:15

请证明：将1～9这九个自然数任意分成两个组，必能在其中的一组中找到一个等差数列。
这个题用枚举法确实是不难证明的。
我的想法是，能不能找到一个一般而简洁的证法，将问题进行推广？
如：
①将1～n这n个连续自然数任意分成3组，如果必能在其中的一组中找到一个等差数列，那么n最小是多少？
②将1～n这n个连续自然数任意分成m组，如果必能在其中的一组中找到一个等差数列，那么n最小是多少？
我想了很久，甚至都找不到证题的方向。请大师们指教！

珠穆亚纳 · 发表于 2005-5-29 18:26

用反证法，再就是“等差数列”的定义再严格一些，是全部数组里的数都是一个等差数列还是其中必包含一个N（N不小于3）项等差数列？
反证法的命题如下：把1～n这n个连续自然数任意分成3组，无论怎样分，都不可能避免出现N（N不小于3）个自然数形成的等差数列。

数论爱好者 · 发表于 2005-5-30 11:09

每组的数全部都是等差数列不可能吧

淡宁居士 · 发表于 2005-5-30 19:28

题目是说：在“其中的一个组”里（不是在这个组，就是在另一个组），能找到一个至少由三个数组成的等差数列。

数论爱好者 · 发表于 2005-5-31 09:54

这样就比较好证明了，在知道总数的情况下，设一个数为t,再根据等差数列通项设出其他各项

淡宁居士 · 发表于 2005-6-2 19:05

[这个贴子最后由淡宁居士在 2005/06/04 05:13pm 第 1 次编辑]

是吗？
总数并不知道啊。
就算总数知道了，又怎么证明呢？能不能请给出一个证明过程？谢谢！

淡宁居士 · 发表于 2005-8-13 17:35

下面引用由珠穆亚纳在 2005/05/29 06:26pm 发表的内容：
用反证法，再就是“等差数列”的定义再严格一些，是全部数组里的数都是一个等差数列还是其中必包含一个N（N不小于3）项等差数列？
反证法的命题如下：把1～n这n个连续自然数任意分成3组，无论怎样分，都不可 ...

当n充分大时，“把1～n这n个连续自然数任意分成3组，无论怎样分，都不可能避免出现N（N不小于3）个自然数形成的等差数列。”这个命题是显而易见的真命题。
现在的问题是：①n最小是多少？
②这个n 的最小值与所分的组数m之间有什么关系？
请斑竹指教！谢谢！

zagjali · 发表于 2005-8-13 22:21

[这个贴子最后由zagjali在 2005/08/14 06:45pm 第 2 次编辑]

回复：请证明：将1～9这九个自然数任意分成两个组，必能在其中的一组中找到一个等差数列。这个题用枚举法确实是不难证明的。
随便举出几个例子：
①（1、2、3、5、9），（4、6、7、8）
②（1、5、7、8、9），（2、3、4、6）
分成三组……
（1、2、5），（3、4、8），（6、7、9）
说楼主看看，例子里有等差数列吗？

淡宁居士 · 发表于 2005-8-19 00:07

下面引用由zagjali在 2005/08/13 10:21pm 发表的内容：
回复：请证明：将1～9这九个自然数任意分成两个组，必能在其中的一组中找到一个等差数列。这个题用枚举法确实是不难证明的。
随便举出几个例子：
①（1、2、3、5、9），（4、6、7、8）
②（1、5、7、8、9），　...

谢谢你参与问题的讨论！
不好意思，阁下没有看清楚问题吧？

珠穆亚纳 · 发表于 2005-8-19 09:32

再提示一个办法：利用拉姆齐理论可以很好的解决这个类型的问题。
请参阅我的系列论述：《拉姆齐系列1，2，3》
http://www.madio.net/Article_Show.asp?ArticleID=615
http://www.madio.net/Article_Show.asp?ArticleID=614
http://www.madio.net/Article_Show.asp?ArticleID=613

		自动登录	找回密码
密码			注册

（原创数学问题）一个看似容易的证明题——如何推广？