关于欧拉公式

时尚企鹅

著名的欧拉公式eiθ=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了eiπ+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起。
我想知道欧拉公式是否已经被证明
欧拉公式
eiθ=cosθ+isinθ是欧拉的一种猜想（就象宇宙是否有边界），还是已经被证明的真理。本人实在困惑，请高人指点迷津，我的手机13190778212，请随时与我联系，谢谢大家。

shenqk

e^(iθ)=cosθ+isinθ
当θ=π时,上式成：
e^(iπ)=cosπ+isinπ
而 sinπ = 0 ，cosπ = -1
故 e^(iπ)=-1
进而 e^(iπ)+1 = 0

shenqk

设z = x+iy 这样 e^z = e^(x+iy)=e^x*e^(iy),就是e^z/e^x = e^(iy)
用牛顿幂级数展开式
e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+.....+x^n/n!+......
把 e^(iy)  展开，就得到
e^z/e^x = e^(iy)
=1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-.....
=(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....)
  +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)
由于   cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....,
   siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....
所以   e^(x+iy)=e^x*e^(iy)=e^x*(cosy+isiny)
即   e^(iy) = (cosy+isiny)
这就是著名的“欧拉公式”。

正理

请楼主先去弄懂两个问题：1、什么是复数的指数表示形式；2、欧拉公式的含义。否则还会出现：“特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了eiπ+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i , e , π ,绝妙地联系在一起”这样的感叹。

wangyangke

“蠢货”（ygq的马甲 ）你，“意淫”很开心吗？？？“意淫”很生猛吧？？？
少“添乱”就是多作“贡献”啦。网络时代的“蠢货”还特别多，唉，……
人“蠢”就安静些嘛，没有人硬要“蠢货”（ygq的马甲 ）你出来的.

熊一兵

下面引用由时尚企鹅在 2005/06/01 00:03pm 发表的内容：
...eiθ=cosθ+isinθ是欧拉的一种猜想（就象宇宙是否有边界）， ...

http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=7797