[转帖]历史上最伟大的数学家大多是“外行”

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历史上最伟大的数学家大多是“外行” （黄小宁搜到的博客文章） 数学家──哈弥尔顿（Hamilton） 字号： 大大 中中 小小 埃尔米特(Charles Hermite) 他是十九世纪最伟大的代数几何学家， 但是他大学入学考试重考了五次， 每次失败的原因都是 数学考不好。 他的大学读到几乎毕不了业， 每次考不好都是为了 数学那一科。 他大学毕业后考不上任何研究所， 因为考不好的科目还是── 数学。 数学是他一生的至爱，但是 数学考试是他一生的恶梦。 不过这无法改变他的伟大： 课本上「共轭矩阵」是他先提出来的， 人类一千多年来解不出「五次方程式的通解」， 是他先解出来的。 自然对数的「超越数性质」， 全世界，他是第一个证明出来的人。 他的一生证明 「一个不会考试的人，仍然能有胜出的人生」， 并且更奇妙的是 不会考试成为他一生的祝福。 怎么会这样呢？ 嗯……也许能在本文中找到答案喔！ 翻开欧洲的地图，在法国的东北角嵌着一块小小的版图，名叫洛林(Lorraine)。 这个地方自古以来就是兵家必争之地，因为北扼莱茵河口，南由马恩河(Marne River)可以直捣巴黎；濒临的阿登高地(Ardennes)是军事制高点；地层中蕴藏 欧洲最大的铁矿。早在神圣罗马帝国时代，洛林草场上就染满骑士的鲜血； 1871年德国的铁血雄兵蹂躏法国后，要求法国割让的土地就是洛林。 革命家的血统 经过百年来战争的洗礼，洛林留下来的是一批苦干、达观的法国人，足能面 对环境的苦难。埃尔米特(Charles Hermite)1822年12月24日出生在洛林的小村 庄Dieuge，他的父祖辈都参与了法国大革命，祖父被大革命后的极端政治团 体巴黎公社(Commune)逮捕，后来死于狱中；有些亲人死在断头台上；他的 父亲是杰出的冶矿工程师，因为被公社通缉，逃到法国边界的洛林小村庄， 在一家铁矿场中隐姓埋名做矿工。 铁矿场的主人叫雷利曼(Lallemand)，一个标准强悍的洛林人，有一个比他更 强悍的女儿玛德琳(Madeleine)。在那个保守的时代，玛德琳就以「敢在户外 穿长裤不穿裙子」而著名，凶悍地管理矿工。但是一遇到这位巴黎来的工 程师，她就软化了，明知对方是死刑通缉犯还是嫁给他，而且为他生了七 个孩子。 埃尔米特在七个孩子中排名第五，生下来右脚就残障，需扶拐杖行走。他身 上一半流着父亲优秀聪明、理想奋斗的血液，一半流着母亲敢作敢为、敢爱 敢恨的洛林强悍血统，谱成不凡生涯的第一个升记号。 数学课本垃圾论 埃尔米特从小就是个问题学生，上课时老爱找老师辩论，尤其是一些基本的 问题。 他尤其痛恨考试；后来写道：「学问像大海，考试像鱼钩，老师老要把鱼挂 在鱼钩上，教鱼怎么能在大海中学会自由、平衡的游泳？」 老师看他考不好，就用木条打他的脚，他恨死了；后来写道：「达到教育的 目的是用头脑，又不是用脚，打脚有什么用？打脚可以使人头脑更聪明吗？」 他的数学考得特别差，主要原因是他的数学特别好；他讲的话更让数学老师 抓狂，他说：「数学课本是一滩臭水，是一堆垃圾。数学成绩好的人，都是 一些二流头脑的人，因为他们只懂搬垃圾。」他自命为一流的科学狂人。不 过他讲的也没错，历史上最伟大的数学家大多是文学、外交、工程、军事等，与数学不相干科系出身的。 埃尔米特花许多时间去看数学大师，如牛顿、高斯的原著，他认为在那里才 能找到「数学的美，是回到基本点的辩论，那里才能饮到数学兴奋的源头。」 他在年老时，回顾少年时的轻狂，写道：「传统的数学教育，要学生按部就 班地，一步一步地学习，训练学生把数学应用到工程或商业上，因此，不重 启发学生的开创性。但是数学有它本身抽象逻辑的美，例如在解决多次方方 程序里，根的存在本身就是一种美感。数学存在的价值，不只是为了生活上 的应用，也不应沦为供工程、商业应用的工具。数学的突破仍需要不断地去 突破现有格局。」 孝顺的天才 埃尔米特的表现让父母忧心，父母但求他能把书念好，再多的钱也愿意付出， 就把他送到巴黎的「路易大帝中学」(Louis-le-Grand)。因着超卓的数学天份， 他无法把自己塞入数学教育的窠臼，但是为了顺父母的意，又必须每天面对 那些细微繁琐的计算，以致痛苦得不得了。这位孝顺的天才，似乎注定终生 的自我折磨。 巴黎综合工科技术学院(Polytechnique)入学考每年举行两次，他从十八岁开始 参加，考到第五次才以吊车尾的成绩通过。其间他几乎要放弃时，遇到一位 数学老师李察(Richard)。李察老师对埃尔米特说：「我相信你是自拉格朗日 (Lagrange)以来的第二位数学天才。」 拉格朗日被称为数学界的贝多芬，他所作的求根近似解被誉为「数学之诗」。 但是埃尔米特光有天份不够，李察老师说：「你需要有上帝的恩典，与完成 学业的坚持，才不会被你认为垃圾的传统教育牺牲掉。」因此他一次又一次 地落榜，却仍继续坚持应试。 骑在蜗牛背上的人 埃尔米特进技术学院念了一年以后，法国教育当局忽然下一道命令：「肢障 者不得进入工科学系」，埃尔米特只好转到文学系。 文学系里的数学已经容易很多了，结果他的数学还是不及格。有趣的是，他 同时在法国的数学研究期刊「纯数学与应用数学杂志」发表「五次方方程式 解的思索」，震惊了数学界。 在人类历史上，第三世纪的希腊数学家就发现一次方程与二次方程的解法， 之后，多少一流数学家埋首苦思四次方程以上到n次方的解法，始终不得其 解。没想到三百年后，一个文学系的学生，一个数学常考不及格的学生，竟 然提出正确的解法。 埃尔米特知道自己已经「对数学的开创性研究中毒很深，热爱得无法自拔」， 幸得好朋友勃特伦(Bertrand)赶忙帮他补习学校要考的数学。对这一个具有开 创性的天才，僵化的数学教育带来无边的苦难；惟有友谊的了解与鼓励能够 支持他走下去，并使他在二十四岁时，能以及格边缘的成绩自大学毕业。 由于不会应付考试，无法继续升学，他只好找所学校做个批改学生作业的助 教。这份助教工作，做了几乎二十五年，仅管他这二十五年中发表了代数连 分数理论、函数论、方程论……已经名满天下，数学程度远超过当时所有大 学的教授，但是不会考试，没有高等学位的埃尔米特，只能继续批改学生作 业。社会现实对他就是这么残忍、愚昧。 不考试的老师 能够使埃尔米特不愤世嫉俗、坦然前行的动力是什么？ 有三个重要的因素，一是妻子的了解与同心。埃尔米特的妻子，是他大学好 友勃特伦的妹妹，她无怨无悔地跟随这个不会考试的天才丈夫，一年一年地 走下去。 二是有人真正地赞赏他，不因他外表的残废与没有耀人的学位而轻视他。欣 赏他的人后来也都在数学界享有盛名──包括研究无穷级数收敛、发散与微 分方程式而著名的柯西(Cauchy)，发表椭圆函数、行列式理论而著名的雅科 比(Jacobi)，「纯数学与应用数学杂志」的主编刘维尔(Liouville)。这些都是行 家，而来自真正行家的惺惺相惜，比考试高分的一点虚伪荣耀，更能支助一 个失败者走较远的路。 三是埃尔米特的信仰。埃尔米特在四十三岁时染患一场大病，柯西来看他， 并且把福音传给他。信仰给他另一种价值与满足。 埃尔米特在四十九岁时，巴黎大学才请他去担任教授。此后的二十 五年，几乎整个法国的大数学家都出自他的门下。我们无从得知他 在课堂上的授课方式，但是有一件事情是可以确定的──没有考试。 三角几何里认识另一个世界 不会考试给他带来许多麻烦：工作不顺利、多次重考、他人的轻视、自卑… …。但是给他带来许多祝福：认识妻子、好友、信仰，与整个生命的成熟。 后来美国加州理工学院数学系的教授贝尔(Bell)，在他对历史上数学伟人的 回顾上，用一段话描述埃尔米特： 「在历史上的数学家愈是天才，愈是好讥诮，讲话愈多嘲讽。只有一个人 例外，就是埃尔米特，他有真正完美的人格。」 埃尔米特死于1901年1月4日。晚年写道： 「三角几何是永恒、是不朽的。自然界里没有任何一个东西是绝对的三角形， 但是在人的脑中却存在着完美、绝对的三角形，去衡量外面的形形状状。 没有人知道为什么三角的总和就是180°，没有人知道为什么三角的最长斜 边对应最大角。这些三角几何的基本特性，不是人去发明出来或想象出来的， 而是人在懵懂无知的时候，这些三角特性就存在，并且无论时空如何改变， 这些特性也不会改变。我只不过是一个无意中发现这些特性的人。 三角几何的存在，证明有一永久不改变的世界存在。」 资料来源： Bell E. T. 1937, "The Man, Not The Method -Hermite", Men of Mathematics, pp. 448~465. Simon & Schuster, INC. USA. -- Do you hear the people sing, singing the songs of angry men? It is the music of a people who will not be slaves again! When the beating of your heart echoes the beating of the drums. There is a life about to start when tomorrow comes! 最近读者 hxl268 分享(0) 评论(1) 分类：转载 14次阅读 　2007-02-18 22:09 •下页 •1/1 •上页 hxl268 百字推翻5千年数学“常识”：无最小正数 黄小宁 通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱 邮编510631 [摘要]据“两集不对等就更谈不上相等”仅用百字就推翻了5000年数学“常识”：无最小正数，揭示（0，k）内有最小、大正数；0

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(转帖) 数学院举行学术发展战略研讨会 (以下网友留言只代表网友个人观点，不代表本网站观点) -------------------------------------------------------------------------------- 来自 10.0.99.1 的网友 于 2003-7-30 10:19:09 发表评论 ? 哥德巴赫猜想（鲁思顺）证明的新网址；http://www.ly-web.net/lss 只要输入以上网址就能看到了哥德巴赫猜想（鲁思顺）证明 -------------------------------------------------------------------------------- 来自 10.0.99.1 的网友 于 2003-7-29 14:38:52 发表评论 正确对待广大数学爱好者 为把我国建成数学强国而努力 普 善 内容：一、正确对待广大数学爱好者 二、数学爱好者是“把我国建为数学大国”不可缺少的一部分力量 三、数学论证与其他的科学论证的区别 四、广大数学爱好者的一些“哥猜”证明中存在需商确的几个问题 五、数学在发展过程中不断完美 一、正确对待广大数学爱好者 近几年我国广大数学爱好者在网上、书刊及报纸上发表和登载了一些关于哥德巴赫猜想（包括孪素数猜想、四色猜想、费马大定理等）证明的论文、广告，同时报纸上也出现了不少对广大数学爱好者进行哥德巴赫猜想、四色猜想、费马大定理等论证的报道和评论的文章。这说明在中华大地有广大的数学爱好者，他们有的已钻研了3、5年，甚至近20年，过着艰苦的生活，刻苦地自学、废寝忘食钻研数论等，也有个别人为研究哥德巴赫猜想付出了极大的心血，甚至付出了倾家荡产的代价。尽管他们中部分人原来的数学基础较低，但经过自己的努力不仅增长了数学知识，也一定程度地提高了数学理论水平，这是一件好事。有人说他们是为了100万美元奖金？不对吧！他们中绝大多数人开始于2000年以前，2002年3月以后他们的热情不减，仅在2002年国际数学家大会期间，约有100多位来自全国各地的数学爱好者到京，他们有的经过正常报名程序获得了参会资格，有的利用各种机会与参会的数学家接触，希望自己写的数学文章能得数学家的指点。这充分说明：数学在中华大地前途无量，未来光明。广大数学爱好者用自己的行动影响着周围的人和他们的后代，中华大地必定会在数学上出现辉煌成果，这也是徐迟仙师的报告文学《哥德巴赫猜想》和我们很多老一辈数学家出版了大量数论专著及科普著作的成果，正如数学科普家、翻译家谈祥柏老教授所讲：“在我们这里，是一片深厚的沃土，在未来的岁月里，将会涌现大量的重大发现和创造。” 由于哥德巴赫等猜想是世界数学上的硬骨头，要证明它需要较全面的数学知识、丰富的想象力和严格的逻辑思维，不可能一下子就能轻易拿下。因此，作为一个数学爱好者要有充分的思想准备，要认识到证明数学猜想是艰苦的、有一个逐步完善的过程、时间长与途径曲折、有时开始会得不到多数人的承认。自己做完证明，只能说明象学生一样仅仅做完了作业，是否正确有待于老师的批阅。哥德巴赫等猜想是世界性的难题，仅只有中学的数学知识是不够的，要学好相关的大学数学知识、了解前人的有关证明，分析碰壁的原因及其存在的难点。同时，自己的证明即使有一、二位数论教授认为基本正确或可能正确，也不能过早对外宣传某某猜想已被我证明，这样可能会出现差错，容易被某些人误解。只要证明是正确的，最终会得到国际公认，仅仅是时间长短。广大数学爱好者为科学献身的精神所作出的大胆探索，都是值得赞扬、鼓励的，对于他们的不足处，数学家们应给以指导、帮助和批评。每一个上过学校的人都知道，世界上没有一个人在学校里做的作业是全对的，仅仅错误多少不同，存在错误是不可避免的，人是在不断改正错误中增长知识、增长才干的。专家也是从不懂到懂的，学生是从老师里学到知识的，在老师的基础上发展的，然后再超过老师。没有老师就没有学生的，如果学生只能落后于老师，社会就不能发展。老师的学生有在课堂上面对面教授的学生，也有不认识但通过书本传授的学生，两类学生的成果都是老师辛勤劳动的结果。正规教育出来的学生理应比自学出来的学生学得全面、深入、完善，但正规教育出来的学生不应嘲笑自学出来的学生。二方面的学生都要相互尊重，相互学习，取长补短，要提倡换位思考。新闻媒体的同志应以对待朋友一样来鼓励、引导、教育广大数学爱好者，不应讽刺、挖苦，也不要吹捧。有些新闻媒体的同志由于对哥德巴赫猜想证明的难度不太了解，把有的数学爱好者自己讲已证出某猜想或个别人的慌言当作真实而作了报导，这是由于他们不是学数学专业的，应于理解，不应过多的指责，他们在实践中会吸取教训，把工作做得更好。数学爱好者向老一辈数学家学习，刻苦钻研。广大数学爱好者盼望数学家象老一代数学家一样多写一点科普作品，与他们交朋友，能详细地指正他们在解证中出现的几种错误类型。有条件的数学家、老师、朋友应该支持、关心他们。期望数学家能发表对数学爱好者所写的文章的评论、指导性的文章。是否正确对待广大数学爱好者的态度，在一定程度上会影响到我国数学的发展，因为广大数学爱好者处处碰壁的尴尬局面，对他们周围的人、他们的后代及亲友造成的影响是不可估量，特别使有些原对数学兴趣很高的青少年丧失了对数学的兴趣，疏远了数学。 据报导有的数学博士生导师５年多来“无博可导”，因为一直无人报考他的博士生。“现在高考中分数高的都不填数学系了，而数学系的优秀毕业生不是出国就是转行，继续深造的很少。”因此，有的提出随着市场经济新体制的建立和各种选择、“诱惑”的增加，需要“刻苦钻研、甘于寂寞”精神的基础科学研究已不再像从前那样吸引年轻一代，急需更广泛地普及科学，培养公众的科学精神。可是广大数学爱好者的刻苦钻研、热情出现却使有的人害怕了，正是叶公好龙。什么“天生白痴”、 “狂人”、 “天才” 、“想蹬自行车上月球”、 “垃圾货”、“ 骗子” 、“行骗”、“胡闹”、“ 荒谬”等等，又是什么 “ 业余研究者是无法证明这个猜想的，除非世界一流的数学家”、“ 可以很快看出证明的破绽，而有些长的一看就知道其入门办法基本一样”等等的指责、讽刺到处飞扬。广大数学爱好者的“哥猜”等的证明几乎没有一篇已解决正确，这没有什么奇怪，“哥猜” 等是世界性的数学难题，世界数论方面的“一流数学家”至今也没有一篇最后解决“哥猜”的论文，却要求广大数学爱好者的“哥猜”的证明今天就要超过世界一流数学家水平是太苛刻了。至于有人造假，说什么论文经过了某某专家组的论证，以及国外要发表他的论文等等，这是个别现象，不可避免。正像有个别教授剽窃他人成果一样，也是少数，不是主流。作为分散的、没有组织的大弱势群体，他们各自行动的广大数学爱好者中出现一些问题是正常的，关键在于正确引导。他们听到的是指责、骂声，可没有看到一位数学家发表过分析、评论他们所写的指导性文章。 有的人提出：“从事任何行业的工作都需要基础，都有‘门坎’，就像大型体育比赛有及格线、入围线一样。要证明哥德巴赫猜想，我认为需要先取得‘执业资格’，我相信许多专家不愿意直接说出这句可能受到攻击的实话，但这确实是数学共同体、科学共同体默认的规则。”是不是群众性的体育运动也要有及格线、入围线，有人不是正规体校出来的人，就不能参加体育比赛，成绩再好也不能参加及格线、入围线的测试。数学爱好者的入围，由谁来设‘门坎’，谁当裁判员。数学爱好者们认为我国是社会主义的国家，深信数论教授（研究员）有熊庆来式的数学家，他们尊重专家，所以将写的文章呈寄请专家评审，请专家赐教，这有何过错？数学爱好者那知道，有“圈内”与“圈外”之别；更不知道那几位怕数学爱好者，怕“一沾上，就甩都甩不开了”的。由于数学专业杂志社“投稿须知”中没有公开写明：“有关Riemann猜想、Farmal大定理、Goldbach猜想、孪生素数猜想、角谷猜想、奇完全数问题、除数问题等必须要有两位以上（也就是说3位及以上）有关数学分支的教授（不是副教授）推荐”方接受投稿或一概不接受数学爱好者的投稿，数学爱好者也不知道杂志社只接受“国内有资格在纯数学意义上研究哥德巴赫猜想这一问题的…”的来稿，所以向杂志社投稿有何过错？ 有的人讲，“全世界现在研究哥德巴赫的数学家不超过50人，而正是因为这一论题的难度，中国的专业数学机构已经暂停了对哥德巴赫猜想的研究。”为什么专业数学机构已经暂停了对哥德巴赫猜想的研究，因为哥德巴赫猜想等是世界性难题，有的数学家在这些问题的研究中失败，有不少数学家见到这些难题就害怕，连碰也不想碰，害怕损失自己已取得的名誉。对于敢于碰这类世界性数学难题的数学家，虽然他们可能化了毕生的精力而没有取得明显的成果，但为后人前进作了探索，人们还是认为他们是勇士，他们是英雄，因为他们中最后必定有成功者，他们是成功者的先锋兵，是侦察兵。如果人人都害怕损失自己的名誉，不去探索、拼搏，数学怎么发展，怎么能出陈景润这样世界级的数学大师。暂停了对这些问题的研究，就没有可能出研究这类问题的成果，也根本不可能出突破这类问题的世界级的数学大师，中国怎么能数学强国。数学爱好者没有名誉包袱，他们就敢于碰这类世界性难题，这是可以理解的，也是值得赞扬的。 有的人认为：“在业余研究者中，几乎没有人是学数学出身的。”这不确切，在广大数学爱好者中有大学数学系本科毕业生的教师，当然也有从事其他专业的高级工程师或研究员，有各项各业的工人、有农民等等，他们中不少人虽然不是数学系毕业的，但自学了数学系专业的有关书籍或相关的国内外文献。数学与其他学科有着不可分隔的联系，数学的发展，必定促进其他学科的发展，其他学科的发展，也必定要求数学的发展。数学应在从其他学科解决科学问题中汲取营养、维持生命的，排斥来自数学外部世界的科学问题，是堵塞了数学的新源泉，等于切断数学的命脉。数学家中部分人应从自己的狭窄专业中走出来，面向更广阔的科学技术领域，同时也应让其他学科的人员加入到发展数学的队伍中来。在过去，阿基米德（Archimeedes，公元前287-前212）不仅是个数学家，而且他还发明了杠杆、活轮等工具；笛卡尔(Rene Decartes, 1596-1650)是哲学家，也是数学家；牛顿（Isaac Newton，1643-1727）是数学家也是物理学家、天文学家和自然哲学家，他以铜锡合金磨成一面凹面镜来反聚光成像，1672年牛顿制成了一种新的反射望远镜，曾因见到树上的苹果落地而引起深思，得出物体都互相吸引的万有引力；莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibnitz ，1646 - 1716）是外交官，也是数学家；皮埃尔.费马(Pierre de Fermat,1608-1665)是法国著名数学家、但光学里的“折射定律”便是其成果之一，他的本职是律师，但他在数学界的声望远远超过了律师；柯西(Augustin Louis Cauchy 1789-1857)毕业于桥梁公路学校，是运河工程的工程师，他在业余时间悉心攻读有关数学各分支方面的书籍，后成为数学家，他把数学应用到其他学科，他在天文和光学方面有不少成果，他是数理弹性理论的奠基人之一等等。有很多其他专业的专家，也同样是数学家；有很多数学家，也同样是其他专业的专家。在科学飞快发展的今天，各学科之间正在不断的渗透、启发、应用、模仿，各学科的、各方面的人员渗透、关心、致力于数学这一基础学科的研究是好事，不是坏事，有利于推动我国数学的发展。千万不要把其他学科的数学爱好者的热情看成是对自己“权威”的威胁，制造“圈内”与“圈外”的鸿沟，隔绝与其他学科的关系，把数学看成与世隔绝的世外桃源的特区，只会影响我国数学的发展。要破除数学创新神秘感，造就一个数学创新氛围，数学发展不可能仅仅是数学家们的事情，许多新数学思想是在解决具体的科学问题中产生的，同时数学知识又促使其他学科人员所研究的专业科学得到重要突破。 有的人说：“国内哥德巴赫猜想的民间“证明”热，缘于作家徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》的误导。他把在世界上也是一流的数学家陈景润（1933.5.22—1996.3.19），描写成一个刻苦钻研的“自学成才者”。这在提倡向科学进军、提倡解放思想、提倡张扬人性的７０年代末，无疑是非常好的文章。但是随着时间推移，这篇报告文学的负面影响也显现出来，那就是给人造成了这样一种错觉，似乎陈景润是由一个不知名的小人物一跃而成了大数学家，并且仅靠他自己天才的智慧。实际上当然完全不是这样。”徐迟仙师的报告文学《哥德巴赫猜想》预示着中国科学春天的到来，正是这篇报告文学激发了广大科技工作者的热情，在全国范围掀起了学科学用科学的高潮。这篇报告文学７０年代末是非常好的文章，现在仍是非常好的文章，将来也是非常好的文章。徐迟仙师的报告文学使全国人民了解陈景润，热悉陈景润，徐迟仙师的报告文学好得很。重读这报告文学，使人不会忘记：陈景润住的是小小房间，只有六平方米大小。这房间还缺了一只角。原来下面二楼是个锅炉房。长方形的大烟囱从他的三楼房间中通过，切去了房间的六分之一。房间是刀把形的。窗子三槅，糊了报纸，糊得很严实，屋内光线暗淡得很。纱窗之上，是羊尾巴似的卷起来的窗纱。窗上缠着绳子，关不严。虫子可以飞出飞进。六平方米的小屋，竟然空如旷野。一捆捆的稿纸从屋角两只麻袋中探头探脑地露出脸来。只有四叶暖气片的暖气上放着一只饭盒。一堆药瓶，两只暖瓶。连一只矮凳子也没有。屋内么还有一只煤油灯？陈景润的著名论文：《大偶数表为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》就是在如此艰苦条件完成的。陈景润过去是、现在是、将来也是我国科技人员的榜样，他的这种废寝忘食，昼夜不舍，潜心思考，探测精蕴精神永远是我国人民学习榜样。在各方面条件均有改善、提高的今天，陈景润这种的精神不能丢。没有这种精神，再好的条件也出不了陈景润这样的国际级的数学大师。成就主要是靠自己的不断研究、不断分析、不断探索的顽强精神，面对面教育的老师给你引了路，再如何前进，还要靠自己自学。陈景润在北京中学当数学老师时，中国科学院出版了华罗庚的名著《堆垒素数论》，刚摆上书店的书架，他就买了，就一头扎进去了。非常深刻的著作，非常之艰难！可是他钻研了它。住进医院，他还偷偷地避开了医生和护士的耳目，研究它。他在厦大图书馆当管理员时，继续精深地钻研了华罗庚的《堆垒素数论》和大厚本儿的《数论导引》，并把它们吃透，就是靠自学的，怎么不能讲陈景润刻苦钻研的“自学成才者”。 陈景润一心一意地搞数学，搞得他发呆了。有一次，自己撞在树上，还问是谁撞了他？他把全部心智和理性统通奉献给这道难题的解题上了，他为此而付出了很高的代价。善意的误会、无知的嘲讽他不屑一顾，他宁可含垢忍辱，餐霜饮雪，一步一步走着，前进着。 有人认为：“两三百年前处于科学的初创阶段，很多在数学研究方面取得成果的人并不是专业数学家，例如，大家所知道的费马大定理的费马是位律师，他在数学上确实取得了不少成就。但现在情况已经不同，没有一定的数学修养，根本无法攻克这一难题，甚或做一般的研究。”这里所讲的“修养”很明显指的是“学历”，是不是没有“硕士”以上文凭的人不能研究哥德巴赫猜想。我国世界级的大数学家华罗庚(1910.11.12 —1985. 6.12)，他初中毕业后仅念过一年半职业高中（上海中华职业学校，二年制），迫于家庭贫寒，在他15岁的时候就辍学回家乡金坛县，协助父亲经营家里的家庭小店，他自学数学，在他家乡所能见到的数学书籍只有一本《大代数》，一本《解析几何》及一本约50页《微积分》，加两本与数学有关的杂志《科学》与《学艺》，1930年他在上海《科学》杂志发表了“苏家驹之代数的五次方程式不能成立之理由”的文章，我国老一辈的大数学家、大教育家，我国现代数学的引进者，在北京的清华大学执教熊庆来教授看出了这篇文章中的英姿勃发和奇光异采。他企图提拔与安排这篇文章作者，后来知道他不是学校数学系的老师，也不是“留学生协会”的学生，他不是一个大学生，甚至不是高中毕业生，连职高都没有读完，熊庆来教授不顾这些困难，亲自邀请他来北京清华数学系当文书，使他可以一面自学，一面大量地听课。尔后，派遣华罗庚出国，留学英国剑桥。华罗庚学成回国，当时在昆明的云南大学担任校长的熊庆来又介绍他当联大教授。华罗庚后来再次出国，在美国普林斯顿和依利诺的大学教书。中华人民共和国成立以后，华罗庚马上回国来了，他主持了中国科学院数学研究所的工作。华罗庚发表 “苏家驹之代数的五次方程式不能成立之理由”论文的时候只是念过一年半职业高中。“自学成才者”不是没有老师，仅仅是老师不是面对面，而是通过“书”向他的学生讲课，大学数学系毕业生具备大学数学水平，自学者也可以通过自学达到大学数学水平，同样也可以达到博士水平。华罗庚没有大学文凭、只有初中文凭，在1979年获得法国Nancy大学名誉博士前已是世界级的大数学家，他的研究遍及数论、代数、典型群、多复变函数论、调和分析与应用数学。爱因斯坦(Einstein 1879-1955)创造相对论时，仅是瑞士伯尔尼市专利局一名三级技师；爱迪生（Thomas Alva Edison 1847-1931）没有受过什么正规教育，一生只在学校读过三个月的书；法拉第(Michael Faraday 1867-1917)是电磁感应定律的发现者，他是一个学徒工。回顾历史，可以看到年纪轻、学历低、经济条件差，并不能说明不能自学知识。在这里，起决定作用的是坚定的信心、正确的方法和不懈的努力，通过自学可以成才。历史上每一个发明创造家证明都离不开自学，学生只知道老师教的内容，是创造不出新的东西来的，数学家也不例外。有老师，可以告诉你这门科学过去有谁搞过，大致有些什麽资料或著作，然后你可按这线索去寻找，这当然很好。如果没有老师，自学者只能在专题文献资料有限的公共图书馆里，自己了解这门科学在世界上最有权威的是哪些人或那些学派，然后拿这些人近年来发表的文章学习、研究，不断学习，不断扩大自己的知识，从研究前人讲授的知识的基础上，不断前进，这样花的时间要长得多，但自学者仍然可以作出成果。研究生以上学历的人可以研究哥德巴赫等猜想，但不是说哥德巴赫猜想只有研究生以上学历的人才能证出。没有研究生以上学历的人就不可能证出哥德巴赫等猜想。谁能证解哥德巴赫等猜想，不能只看学历来定，要看其实际能力。 二、数学爱好者是“把我国建为数学大国”不可缺少的一部分力量 我国曾是个数学大国，勾股定理、杨辉三角、最早的矩阵，我国的祖冲之、刘徽、华罗庚、陈景润、这些都是令人骄傲的名字，但这些是我国数学辉煌的过去。今天呢？数学大师似乎成了个过去的名词，在喜悦的背后，我国数学家面对某些尴尬：2002年的国际数学大奖——菲尔兹奖被法国数学家洛朗•拉佛阁和俄罗斯数学家弗拉基米尔•沃沃斯基拿走，与我国无缘。说明我国缺少“叫得响”的世界级成果、缺乏领袖数学家、人才面临断档之忧等等。１５年前数学大师陈省身“放大眼光展开壮志，把中国建为数学大国”的希望能否实现？北京师范大学数学系陈木法教授说：“我国数学水平排在美、德、法、日、俄、加等国之后，仅处于发展中国家的第一方阵，只能在某些领域和世界对话。” 　　“数学这样的基础研究很重要，是提升整体科技水平的基础，是营造全社会科学文化氛围的关键，直接关系到国家核心竞争力的高低。”世界著名数学家、迄今唯一获“数学诺贝尔奖”菲尔茨奖的华裔学者丘成桐严肃指出，“如果基础科学水平上不去，国家的核心竞争力也不会强起来。比如，ＩＴ产业的发展，几乎全部依靠数学。如果数学水平上不去，ＩＴ产业就难以形成核心竞争力。”“数学是科学之母，是科学的基础。数学的落后，基础研究的落后，将影响整个国家的长久竞争力，尤其是在这个知识当道、科技争锋的时代。” 邓小平同志曾了解到陈景润（1933.5.22—1996.3.19）顽强拼搏的传奇式经历和出类拔萃的业绩后，无限感慨地说：像陈景润这样的“世界上公认有水平的”科学家，“中国有一千个就了不得”。二十多年了，现在人们要发问：中国什么时候再出一个陈景润？数学的落后，将影响整个国家的长久竞争力，尤其是在这个知识当道、科技争锋的时代。我国数学研究应当如何走出这个阴影，成为培养产生大师的土壤，让我国不仅有一个，而是有几百上千个“陈景润”?这难道不是很值得我们深思吗？ 为了改变我国的数学现状，有的数学家认为：考核体系是困扰数学乃至我国科学发展的一大因素，我国科研评价体系急需调整，应该让“以论文数量论英雄”成为历史；有的数学家指出，数学研究“一个人一张笔”的时代已经过去，认为交流机会太少是制约着我国数学和科技的发展；有的数学家提出，避免国内学术界“近亲繁殖”现象，“近亲繁殖”不利于形成自由平等的良好学术风气，并窒息中国数学家的创造力等等…。数学家们指出的浮躁的学风、短缺的经费、僵化的科技评价体系….等问题是影响我国数学发展的重要因素，但更应该看到：数学研究更多是单兵独立作战，如陈景润就是单兵独立作战出世界级成果的数学家；陈景润的这种废寝忘食，昼夜不舍，潜心思考，探测精蕴的精神是使我国出世界性数学成果的主要因素；陈景润是在极其艰苦、简陋的环境中，默默地工作取得了辉煌的成绩。现在年轻的数学家“每天考虑的是柴米油盐，上下班接送孩子，买便宜一点的菜和衣服…”的情况已不存在，他们受到人民的尊敬、爱戴，人民期望他们在美丽的玫瑰花朵中微笑，取得更大成绩，出“叫得响”的世界级成果。英国普林斯顿大学数学家安德鲁•韦尔斯(Andrew Wiles)做了教授，从1986年夏起突然消失，找不到他，学术会议不参加，论文也没有了，到1994年10月过了八年，结果用130页长的篇幅证明了费马大定理。这一方面说明普林斯顿大学给他宽容，给他创造了一个好的外部环境，没有要他每年上报研究成果和论文发表情况，没有追求数量，同时也说明韦尔斯和陈景润一样具有孤军奋战、艰苦拼搏的精神，在这八年里，他没有与外界交流、也没有向普林斯顿大学要什么研究费用，最终拿出了“叫得响”的世界级成果，韦尔斯成为整个数学界的英雄。韦尔斯用的是与其他数学研究者通常采用的一种合作行为（世界各地的数学研究机构和大学数学系数学家在论文发表前，通常利用在下午的茶话会来听取别人的意见，茶话会是为交流想法提供的场合）的不同方式，他避开了这一切，对他的工作秘而不宣，一直到最后时刻才宣布。韦尔斯所以这样做，有其理由：一方面他要避开各种干扰；另一方面他已完成了证明的主要部分，怕对手在他工作的基础上比他早的完成证明，而将奖励夺取。 有熊庆来(1893.10.20—1969.2.3)，才有华罗庚(1910.11.12 —1985. 6.12)这样的成就；有华罗庚，才有陈景润这样的成就。没有熊庆来的慧眼，华罗庚不可以成为国际数学大师，仅仅只是个数学爱好者。国外也有同样的例子：数学家斯林尼瓦萨.拉玛努金（S.Ａ.Ｒamanujan 1887-1920）。1887年出生于印度，幼年就显示出对数学极强的兴趣和才能。但因家境贫困，他无力进大学学习，也买不起图书和杂志，只能靠借书和自学汲取数学知识。1913年初，他用蹩脚的英文写了一封信给剑桥大学的数学家哈代（Godfrey Harold Hardy，1877～1947），信中写了100多个数学公式，没有证明，有的是错的，有的是对的，这些公式里不少是很难证明的，却难倒哈代。哈代十分欣赏拉玛努金的数学天赋，立刻回信邀请他到英国来，并设法为他安排了奖学金。1914年4月，拉玛努金辗转到了英国。短暂的接触之后，哈代发现拉玛努金由于从未正规学习过现代数学，对许多概念都不熟悉，但他却有着很强的数学直觉和推理能力。哈代花了很多心血教拉玛努金现代的欧洲数学知识，并充分启发他那独特的思维方式。拉玛努金进步飞快，不久便在素数分布、堆垒数论、椭圆函数和发散级数等领域取得了很多重要成果。5年间，他共发表论文21篇，注记17篇，其中有5篇重要的文章是和哈代合作完成的，特别是他们一起对整数的分拆问题作出了首创性的工作。哈代认为，他通过与拉玛努金的接触和合作，自己的创造力也得到了更好的发挥。1917年，拉玛努金患了结核病，久治不愈。由于经济窘困和思乡心切，他于1919年回到了印度，第二年就去世了，年仅33岁。哈代对这位数学天才的英年早逝深感痛惜，在以后的十多年里积极参与研究拉玛努金的数学公式，并整理传播他的论文，在1940年出版了《拉玛努金》一书。该书比较详细地记述了拉玛努金的生平和研究成果，并作了适当的评论，成为了解和研究拉玛努金的重要文献。英国著名数学家哈代以他对同行及晚辈数学家的合作与友善在数学界被传为佳话。 然而，在国际数学史上，数学家不能正确对待爱好者和新生理论的事例，也是屡见不鲜。如：阿贝尔于1826年搬迁到巴黎，撰写出“关于超越函数扩充问题的一般性质”的论文，提交巴黎科学院审查，而著名数学家柯西把阿贝尔的论文放在抽屉里一放了之。后来著名数学家雅可比看见这篇论文后，非常吃惊，在1829年3月14日写信抗议道：“…这在我们生活的这个世纪中，恐怕是数学中最重要的发现，虽曾向‘老爷们’的研究院提交此论文两年之久，但一直没有得到诸位先生的注意，这是为什么呢？…”。因为雅可比的抗议，勒让德才到处寻找论文，可是，这篇论文仍在柯西桌子的抽屉中安睡。1830年7月24日发给阿贝尔科学研究奖金。但是，阿贝尔已经不是这个世界的人了。该论文后来发表在1841年出版的《皇家科学院论文集》第七卷。又如：埃．伽罗华（E.Galois，1811-1832），现在被称为“群论”的奠基人，他的数学业绩是在中学时代创建的，而这种业绩——“群论”是对数学思想的一次重大突破。1829年，他中学最后一年快要结束时，把关于群论研究所初步结果的第一批论文提交给法国科学院。科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论文的鉴定人。在1830年1月18日柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举行一次全面的意见听取会。然而，第二周当柯西向科学院宣读他自己的一篇论文时，并未介绍伽罗华的著作。1830年2月，伽罗华将他的研究成果比较详细地写成论文交上去了。以参加科学院的数学大奖评选，论文寄给当时科学院终身秘书J．B．傅立叶，但傅立叶在当年5月就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的手稿。1831年1月，伽罗华在寻求确定方程的可解性这个问题上，又得到一个结论，他写成论文提交给法国科学院。这篇论文是伽罗华关于群论的重要著作。当时的数学家S．K．泊松为了理解这篇论文绞尽了脑汁。尽管借助于拉格朗日已证明的一个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它。1832年5月30日，临死的前一夜，他把他的重大科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐里叶保存下来，从而使他的劳动结晶流传后世，造福人类。1832年5月31日离开了人间。死因参加无意义的决斗受重伤。直到他死后的14年（1846年），法国数学家刘维尔（J.Liouville）着手整理伽罗华的重大创作后，首次发表在刘维尔主编的《数学杂志》。在我国类似情况也不少：职业为普通物理教师的我国已故“业余数学家”陆家羲，曾陆续攻克多项世界数学难题，在长达20多年时间里寄出数学论文10多篇，均被当时的权威压下，最后是美国数学刊物发表了陆的论文，才引起国内重视的。他有的成果因为不能及时发表，被外国人抢了先，这难道不是沉痛的教训；而陈景润用筛法证明‘1＋2’之前，当时数论专家普遍认为，要沿用已有的方法（包括筛法）来证明‘1＋2’是不可能的。”可陈景润没有被“定论”和权威吓倒，他打破了这个神话。 有人讲在科学研究上，存在一个“科学共同体”。他称为的“科学共同体”就是“圈子”，并认为“圈子”之外的人，是不可能做出“圈子”内人那样的成绩的。华罗庚、拉玛努金都是由业余转变为专业的，年轻的业余数学爱好者同样也可以通过自学、培训能成为专业数学家。我们有不少数学家为了激发青少年学习数学的兴趣，为传布现代数学知识作出了很大努力，翻译了不少数学科普读物，近年来中国青少年在国际奥林匹克数学竞赛中连获金奖就是中国科普成功的一个例证。学习了数学，就必定要思考、要深入研究，也必定会证一证有关问题，当然也包括猜想。数学爱好者证解“数学猜想”这有什么可指责的，这是好事，这说明是中国科普的成果。想一想，如果在我国没有广大的数学爱好者，没有人关心数学、没有人关心“数学猜想”， 数学大国的目标能实现吗？广大数学爱好者希望我们的个别数学家能填平“圈内”与“圈外”的鸿沟，经常与数学爱好者保持联系，指导数学爱好者，普及全民的数学知识、提高全民的数学水平，并从其中发掘人才，培养人才。要提倡年轻数学家要有挑战权威的勇气和精神，要引导数学爱好者专研数学基础知识。“圈”可以有，但“圈内”与“圈外”不应是鸿沟，“这个圈”与“那个圈”不应是鸿沟；“圈”似乎有，也应似乎没有；你可处于一个圈内，也可以在几个圈中，圈越大、人才越多才说明我国真正有实力，才能立足于世界，才能成为世界数学大国，数学大国。陈景润是大学数学系毕业，他曾是中学教师，当过图书馆管理员，在他未进中科院前也是数学圈外的，按某些人的“定理”是业余数学爱好者的范围，也没有资格研究哥德巴赫猜想。 “发展是硬道理”，在我国数学界反映在有没有很多世界级的数学大师，有没有很多世界级的数学成果。能不能成为世界数学大国，也要看出不出得出很多世界级的数学大师，出不出得出很多世界级的数学成果。如何才能出一千个像陈景润这样的“世界上公认有水平的”数学家，不仅要提高数学家的待遇，创造宽容的外部环境，建立合理的考核体系，更要提倡、发扬废寝忘食，昼夜不舍，潜心思考，探测精蕴的精神，普及、提高全民的数学素质，要正确对待数学爱好者，不拘一格的提拔年轻人才，有发展前途的年轻苗子要破格深造、培养，要让教授能象熊庆来教授一样有破格挑选自己学生的权力，这样才能象华罗庚、陈景润、苏步青、陈省身、冯康、吴文俊、谷超豪、廖三涛、丘成桐、田刚等这样的数学家数百上千的不断涌现。现在人们评价数学家的成就是看他有不有世界级成果，而不是看他担任什么职务或有多少三类论文。人们评价数学界领导的成就是看他领导的单位有不有一个浓郁的学术氛围和宽松的研究环境，出了多少世界级成果，出了多少世界级的数学家及培养了多少世界级的数学家，并不看他的单位有多少国家级成果及多少教授（研究员）。因为数学弱国也有国家级成果，但在世界上只是三类的，数学弱国的大学和研究院同样有很多教授（研究员），甚至也有国家科学院院士、博导。 是否正确对待广大数学爱好者的态度，在一定程度上会影响到我国数学的发展，因为广大数学爱好者处处碰壁的尴尬局面，对他们周围的人、他们的后代及亲友造成的影响是不可估量，特别使有些原对数学兴趣很高的青少年丧失了对数学的兴趣，疏远了数学。数学爱好者期望数学家能发表对数学爱好者所写的文章的评论、指导性的文章。正确对待数学爱好者主要是希望数学家象熊庆来一样在条件许可（不影响本人现有工作）的情况下，尽可能给于他们指导、帮助。自己没有时间回复数学爱好者的来信，可请学生、助手来完成，相信他们会理解的。有位数学教授说得好，中国业余数学爱好者不在少数，可他们缺乏正确的引导，建议由国家数学研究权威部门牵头，把这些数学爱好者组织起来，互相交流，并给予指导，让这些热爱数学的人少走一些弯路。 三、数学论证与其他的科学论证的区别数学论证与其他的科学论证的不同，它们之间有明显的区别：数学证明是从公理、定义和已证明是的定理、引理、推论、性质等，通过陈述或严密的数学推导，一步接一步，最后得出某有结论。如果公理、定义、定理、引理、推论、性质等是正确，逻辑论证或数学推导无缺陷，那么所得结论是正确的，不可否定的，这结论就是一个定理。数学证明依靠逻辑论证或数学推导，一经证明就永远是对的。数学证明是绝对的。 其他的科学论证，如物理的定律、法则等就不同，若对物理现象经过观察和分析，提出一个假设，这一假设不仅能描述、解说已知现象，而且能预言其他现象的结果，用实验对其他现象测试的实际结果与根据假设提出的预言相符，经过多次、对各种其他现象预言，均与实验测试的一致，这假设就成为定律或法则。但其他科学理论的证明永远不可能达到数学定理的证明所具有的绝对程度，它仅仅是根据现有条件下所得到的证据认为是正确的，其他科学理论依赖于观察和理解力，这两者是受现有的观察手段的限制，容易出错，仅仅提供在现有分析、观察手段的近似真理的概念。然而所有的精确科学都被这个近似性观念支配着，有的被人们普遍接受的科学证明中也存在着可怀疑的成分，有时候受现有的观测手段的限制觉得可怀疑的成分很小，但有的随着观测手段的改进，其怀疑的成分会扩大，直到推翻了原有的证明，证明原有的“证明”是错的。其他科学证明中的这个无法克服的弱点，就会不断导致用一个新的理论来替代原有着被认为是正确的理论，这就是科学革命。这一新理论是在原有的理论基础上进一步深化而来，当然它可能比原有理论更深入，它也与原有理论完全相反。应该特别说明的是，原有理论尽管最后证明是错误的，但它在当时的条件下，为科学的发展起到了很大的作用。没有它，也就没有后来的新理论。新的理论是在科学发展，新的观测手段、分析方法产生后才有的。可以说新的理论一定要科学发展到他该产生时才产生。而数学能证明它就永远正确的，不能证明它，尽管大量分析说明它是对的，也只能讲是“猜想”。 例如：大家知道电流在导体中流动是电子的流动，电子是负电荷的，电子是从负极流向正极的。可是原来电流的理论是从正极流向负极，根据此原则建立了环形直流电流的方向与所产生的磁力线方向的关系“安培定则”、导电体在磁场中运动，其直流电流方向与产生运动方向的关系“左手定则”。尽管人们知道电流方向应该是从负极流向正极的，不是从正极流向负极，但人们仍把直流电流当作从正极流向负极，因此，这两法则仍然得以应用。又如，对基本的粒子探索，使每一代的物理学家推翻了前辈的理论。从19世纪初约翰•道尔顿（John Dalton）提出万物是由分离的原子组成的，原子是基本粒子。到19世纪末，发现了电子、质子和中子，并且知道了质子和中子组成原子核，原子核和电子组成原子，这时许多人认为电子、质子和中子是基本粒子。随着科学技术的发展，自从1911年发现宇宙射线以后，就开始对宇宙射线的观测，在宇宙射线的研究中，不断发现了新的基本粒子。1932年发现了正电子，1937年发现了μ介子，1947年又发现了K介子和π介子，后来又发现了质量比介子重的超子。1932年发明了回旋加速器，用回旋加速的实验，发现了更多的基本粒子，有许多具有和它质量相同而电荷相反的反粒子。现在发现的基本粒子有几百种，基本粒子如此多，并且能够相互转化，随着新的观测手段、分析方法的出现，还会有新的发现。因此，物理学家对新发现的粒子不再使用“基本粒子”这个名称，只称为“粒子”。 数学证明必须是严密的逻辑论证或数学推导，其证明必须经的数学家审核、证实是正确的才能认可。如果当时没有发现错误，后来发现了错误，仍将否定。有的证明虽已证出，但别的数学家无法审查，也同样予以否定。如四色猜想是任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家（或区域）着上不同的颜色，也即将平面任意地细分为不相重迭的区块，每一个区块总可以用1，2，3，4这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区块得到相同的数字。该猜想是毕业于伦敦大学的弗南西斯•格思里（Francis Guthrie）在1852年提出，到现在已150年了，在这一百多年来吸引许多数学家与数学爱好者，1878～1880年两年间，著名的律师兼数学家肯普（Kempe）和泰塔（Tait）两人曾分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理，后来两证明均被否定；哈肯（Haken）在1970年着手改进了海克（Heesch）的“放电过程”，1976年6月，哈肯与阿佩尔（Appel）合作，在美国伊利诺斯大学的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿次判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界，当地的邮局在当天发出的所有邮件上都加盖了“四色足够”的特制邮戳，以庆祝这一难题获得解决，但由于其证明是用计算机，不是一种简捷明快的书面证明方法，要重复检验一次都不是一件容易的事，何况更不知道是否还会存在其它问题呢，没有一位数学家能全部审查过，故各国数学家表示仍不能认可。对于同样的一张地形图，不同的人着色方法不同，有的人能够用四色就可以，有的人却要用五色，四色没法着。如果排列很多方案用计算机进行试揍与用人一样排列很多方案进行试揍一样不是数学论证，用计算机排列上亿个方案，化上数千小时试揍成立仅仅是某一给定的地形图或给定的数千构件的组合，而不是一切地形图或多于数千构件的组合必定如此的结论，这与人们对哥德巴赫猜想已验算几千亿数一样，仍不能说明这是证明。因此，四色问题到目前还只能称为“四色猜想”。可以说如果用严密的数学推导证明了“四色猜想”，必定存在一个着色规律，则用计算机进行地图着色应该只要极少的时间就足够，不应该化上数千小时。 四、广大数学爱好者的一些“哥猜”证明中存在需商确的几个问题从最近在网上或出版社出版的几篇哥德巴赫猜想的证明来看，数学爱好者做了很多艰苦的工作，他们为科学献身的精神所作出的大胆探索，都是值得赞扬的，但为使“哥猜”等猜想的证明，深入、健康、有成效的发展，对证明中存在的一些问题提出个人的看法，与数学好者商确，错误、不当之处请赐正。 1、不能用概率数的存在，来证明任一大于5的偶数都有奇素数对的存在 概率数在概率论上是一确切的值，但并不能说任一次都实际存在有不多不少的这一定值，因此，在数论上是一个不定数。正如彩票中奖率为万分之一，并不能说买一万张彩票必定正好中奖一个，买二万张彩票必定正好中奖二个，也许买二万张彩票中不到一个奖，而买一张彩票中到一个奖。要无穷多次的买一万张彩票，其每次的平均中奖才正好为一个。就某一次而言，概率数在数论上来讲，是一个不定数，也可以说是模糊数，是不严密的定数，因此，在数论的讨论中不能应用，不能作为证明。 不少论文均以概率数M/2*(1/2)*(1/3)*(3/5)*(5/7)*(9/11)*(11/13)*(15/17)*(17/19)*(21/23)* … *({P-2}/P)或 <(M/4)-1>×<(q1-2)/q1>×<(q2-2)/q2>…. ×<(qn-2)/qn>来分析奇素数对的存在。但概率数是不严密的定数，如M=68，由68/2*1/2*1/3*3/5*5/7=68/2*1/2*1/7=2.429或<(68/4) -1>×(1/3)×(3/5) ×(5/7) =2.29，但68的奇素数仅有7+61与31+37两组，其中7+61是√M以下奇素数对，正确的讲概率数公式中是不包含√M以下素数对，很明显结论不正确的。有的提出除68外，可在证明中却又没有论证；有的在没有证明的前提下，轻易地下“大偶数M （2n）不仅可以表示为（1+1），而且可以表示为大于等于√M /4个（1+1）”这样的结论，很明显68，152等均不成立；有的认为偶数不为奇素数之和奇素数对（M(N)=0 ）的概率（P ≤10^-259,745,289），以至于实际上 M(N)=0 不可能发生。不存在的概率极低，但不等于零，不是零就说明并不能讲不存在。如彩票中奖机率极低，但不能讲永远无人中奖。对于没有证明的“结论”也只是猜想。 由于按素数定理计算所得素数个数也是一个近似值，因此，用概率数或素数定理来证明“哥猜”或数论其他问题，都要有误差（项）的估计分析，难就难在对误差的估计分析。数学爱好者秦正党的《试证哥德巴赫猜想》一书出版后不久，他的朋友指出数论的证明是不能用概率后，他就完全放弃“概率”的方法，正在探索其他方法，他这种坚定不移的科学研究态度值得学习。 在这里有也要指出，数论的证明不是象有的所讲不能用概率，应该确切的讲：用概率数的存在不能证明实际必定存在。但概率数列的极限不是一个大概数，若概率数列的极限为0或∞，说明不买彩票中奖必定0（没有），买∞多彩票中奖必定∞多，当然中奖∞多的价值比买彩票的价值是要少得多。也就是如果每一次摸彩的概率数均不小于某一定值，则无穷多次的极限为∞，这不是大概数，虽然每次的概率数均是不确定的数，其每次实际值有的可能大于、小于或等于某定值，但无穷多次的概率数的平均值为某定值，故这无穷多次的概率数之和为∞。 提出的方法与实际数存在误差，对其误差就要分析、估算。现在不少网友的“哥猜”证明基于欧拉函数，如果没有误差分析的证明是不能算是证出了“哥猜”，无论用什么方法来弥补误差，都要有一个严密的证明。没有严密的证明，不是数学证明，只能讲是猜想。 2、不能用‘经验证明’来证明 人们已验算到非常大的数都是正确的，在工程技术上我们可以作为“经验数据”在工程设计、施工中应用，但数学上却不能认为是正确的，因为在数学上要有一个数学的严密证明。‘经验证明’在数学上本身就是是猜想，用猜想证明猜想显然是不正确的。更不能用“经验证明”一句来作为证明。 有的论文用以“经验证明这是不可能的”就结束了证明，显然不妥。 3、需要严密的证明 在数学上要有一个数学的严密证明，其数理逻辑要正确的。有的前面证明是对的，但后面没有进一步的证明或错误地进行数理逻辑分析后就轻易地下了结论等等。如有的论文定理1的证明是对的，但定理2其数学证明不严密，数理逻辑分析不正确，简单下与定理1一样的结论，因此，只能说证明就不对了；有的提出了一个计算公式，而用该公式计算的结果与实际数存在误差，这就说明该公式的推导存在问题；有的在没有限定条件下推导了一个公式，用实际数运算后发现在某一些数代入的结果与实际不符，就提出限定范围（除某某送外），这也是不正确的，限定范围应在公式推导中反映。 4、要提出证解的新思路或等价的新命题，还要具体的证明 对哥德巴赫猜想的证明，国内外有一个较为一致的看法是：必须对筛法及有关的分析方法作出重大改进，或提出新的方法，才可能对猜想取得进一步的研究成果。因此，需要对证解提出新思路或等价的新命题。但新思路或等价的新命题是否对，最后还要待其他人的具体的证明。 如攻克费马大定理的英国数学家韦尔斯，实际上他运用椭圆曲线、模形式、形变的理论知识以及多种新颖的方法，证明的是以两位日本数学家名字命名的谷山—志村猜想，后者可以直接导出费尔马大定理。人们在祝贺他荣获沃尔夫奖(世界数学家最高奖)的时侯，也不会忘记谷山、志村两位日本数学家的伟大贡献。但是不是每一个新思路或等价的新命题，都能较容易的攻下哥德巴赫猜想，要有待于其他人的具体的证明。更不能讲提出了新的思路或等价的新命题，就是哥德巴赫猜想的证明。 5、要学习前人著作，不要再重复走前人走过路 要学习前人成果，要在前人已取得的成果基础上前进，可以少走歪路。如果不学习前人成果，一切都由自己从头开始，从头创立，是无法取得成效的，这好像现代人要在返回到原始人的社会条件下，而又要从头开始重新创建超过现有水平的社会，这是不可能的。不知道前人的成果，不了解现有的水平，很可能把自己在重复前人数十年前，甚至数百年前，甚至千前已有的，当作“新方法”、“新发现”、“新理论”、“新突破”。这样，科学就不能发展、前进。现在有人还在用前人的圆的内切正多边形的方法手算来求圆周率，讨论小数后七、八位的准确性，是没有必要的，因为现在有人利用计算机用快速收敛的级数计算圆周率已算到小數點後20615843亿位了（1999年9月23日所公布的最高纪录），如果把这些天文数字般的圆周率小数位数打印在A4大小的复印纸上，每页印2万位，那么这些纸张叠起来，其高度可达600米以上，相当于上海浦东金茂大厦高度的2倍。 6、要尊重老师的审稿意见 能为我们数学爱好者审查的数学家是优秀的哈代式数学家，对他们提出的意见要认真领会，按老师提出的意见改进，不断学习、不断提高。更不能篡改老师的审查意见，瞎编论文经过谁谁认可的，对这种欺骗行为应该给予揭露。说实在话，能为数学爱好者审查的数学家是优秀的熊庆来、闵嗣鹤式数学家，审查要浪费他们的很多宝贵时间，我们应该感谢他们，应该尊重他们。数学爱好者应多看已出版的中外数学家们的著作，学习、专研数论书籍，提高自己的数学水平，千万不要坐井观天。专业数学家也不可避免错误，数学爱好者的错误也必定会存在很多，所以数学爱好者要重视自己错误，加强学习，进一步深入分析、研究，纠正错误，使自己的论文达到高水平。当然审查的数学家的意见也可能有错误，应该有礼、有理地指出不同的看法，用理说服审查的数学家，也可能会出现一下子难以说服的情况，这首先要认真检查自己的理由是否正确，并与其他朋友商量、探讨、分析，如果仍认为自己是正确的，可再找其他数学家审查。 在目前看来，我国的数学爱好者要寻到肯审查的专家是极其困难的，有的自己不愿与数学爱好者接触，还大造舆论扩大与数学爱好者之间的鸿沟。 7、论文要求主题明确、数据可靠、逻辑严密、文字精炼，遵守我国著作权法，是否正确让别人评价 有个别数学爱好者写的文章中大讲这是“新方法”、“新发现”、“新理论”、“新突破”，已百分之百证明了“猜想”等等一些句子不妥。是否是“新方法”、“新发现”、“新理论”、“新突破”由阅者评论。 有的数学爱好者讲自己已经证出，希望有一个能给他发表的机会，但文章里又不写出来，讲写出来怕别人看了后剽窃。剽窃者确实是有的，可能有的收到数学爱好者的文章后不理，但会取其有用的内容，取其思路，改换格式，作为自己成果发表，这是要引起注意的。但应该看到仅仅是极少数，如果有这类剽窃者，文章作者与广大读者要识破，要揭露。广大数学爱好者发表文章不为名，不为利，也就不一定在数学刊物上发表文章。现在情况与过去不同了，有很多网站可发表数学论文（如西部科技频道的《学术论著》、《东陆论坛》栏等），论文在网上发表，论文作者同样享有版权与著作权。论文公开发表，剽窃者容易暴露，谁剽窃广大读者一清二楚，剽窃者最终将受到道德和法律的谴责。希望网站在网上发表的论文注明收到时间和发表时间，也有利于区别同类发表的前后时间，使我国网上发表的论文也成为科学研究的主要参考文献之一。 目前，我国的数学爱好者要在数学刊物上发表文章是不可能的，因为从1972年陈景润以来中国数学协会主办杂志所接受的唯一关于歌德巴赫猜想的论文，仅只有青年科学家曹锐博士（数学圈外的数学爱好者）提出的“对于任意偶数F，当（F, F/2）不存在任何（奇）素数时，偶数F不能分拆为两个奇素数之和”这一篇，这是零的突破，这零的突破也许因为曹锐是博士。因此，数学爱好者对我国的数学杂志不要抱有希望。 只要证明是正确的，最终会得到国际公认，仅仅是时间长短。世界上很多有名的数学家的论文并没有在数学杂志上发表的，有的根本没有发表，是后人整理的，最后得到国际公认。 科学研究有一个不断产错、纠错的过程，是在不断的争议、探讨中前进的。著名科学家钱学森院士有一句名言：“没有千万次错误，就登不上真理的宝座。” 提出以上肤浅的看法，与广大数学爱好者商讨。 五、数学在发展过程中不断完美 从现有数学爱好者的论文中虽然尚未证出猜想，但也提出了不少有新的思路，如梁定祥、余新河等提出了更深入的猜想，也有的提出了分析猜想的“新方法”、“ 新思路”等等，虽然还研究得不够深入，且存在明显的错误，但正确总是在不断纠正错误之中产生，有些复杂问题换一个方式思考，也许就变得简单。我们应该发掘“新方法”、“ 新思路”，甚至创建新的数学分支来证明这类问题。宝石是在大地的石头中挖掘出来的，要用慧眼来识别宝石。六祖惠能大师曰：“欲学无上菩提，不得轻于初学，下下人有上上智，上上人有没意智。”解决歌德巴赫猜想是否只能用数论中解析数论，是否不能用一般的高等数学、集合论、概率论或其他新的数论函数等理论结合起来也有待实践检验，因为现在没有人能证明“只能”、“不能”。尺规不能三等分一个角有证明，人们不会再去研究用尺规三等分一个角。“素数定理”最初是用复变函数论证明，后来不是有了不用复变函数论的初等证明。用什么方法能证明“哥猜”，历史会作出结论。 由于科学本身是在发展过程中不断完美的。挑战、批判与怀疑的精神是勇于创新的重要源泉之一，对于一些重大科学问题的挑战对科学的发展起到了重要的促进作用，假如科学没有对立面，也就没有了生命力，科学不能以理服对立面，何称为科学。至于这些挑战是否能成为今后的科学主流，倒很难说，但真理是不怕挑战的，正确总能以理服错误。因此对这些挑战宜采取宽容的态度。要提倡宽容。期望数学家对广大数学爱好者宽容，要提倡功德无量，“内心谦下是功，外行于礼是德。”数学家与广大数学爱好者应相互尊重、相互结合、取长补短，发扬废寝忘食，昼夜不舍，潜心思考，探测精蕴的精神，普及、提高全民的数学素质，为使我国尽早成为数学大国，数学强国共同努力。 以上的想法，有谬误或不当之处，请阅者赐正。 普善 2003年7月21日原文发表在西部科技频道《东陆论坛》 --------------------------------------------------------------------------------

lusishun

　(原稿)    加强含量筛法与歌德巴赫猜想证明
　　　　　　　　　　　鲁思顺
　　　　　中共山东省苍山县委党校　山东苍山　277700

    [摘要]    本文给出倍数含量概念，提出加强含量筛法，从而证明了歌德巴赫猜想。
    [关键词]   倍数含量，非倍数含量，加强含量筛法；式数；取整
    [中图分类号]O156  [文献标识码]A  [文献编号]1009-3001（2001）02-0048-03

    定义：在n个自然数的集合中，p倍数个数的近似值，称之为p倍数含量。如：
在n个连续自然数的集合中，素数p倍数个数为
     n         ┏ n                                      n
  [-----]  或   -----  （前为舍尾取整，后为尾入取整）。-----  称之为
   p         p┛                                  p
p的倍数含量，我们把n-n/p=[(p-1)/pi]n称之为非p倍数含量。

    引理1：在n个连续自然数的集合里，p[j]倍数含量中，p倍数含量
占其1/p少于其1/(p[i-1])。
    证明：p[j]倍数含量为n/p[j]，而pp[j]倍数含量为
n/pp[j]=(1/p)*(n/p[j])〈(1/p[i-1])*(n/p[j])，证毕。
    引理2：在n个连续自然数的集合里，非p[j]倍数含量中，p倍数含量占其1/p，少于其1/p[i-1]。
    引理3：在n个连续自然数的集合里，p[j]（1≤j〈i-1）倍数含量中，p倍数含量占其1/p，少于其1/p[i-1]。
    引理3：在n个连续自然数的集合里，非p[j]（1≤j〈i-1）倍数含量中，p倍数含量占其1/p，少于其1/p[i-1]。
(说明一下，引理2到引理4原作者给出了证明，事实上过程很简单，因为排版输入困难，所以这里不列出了)

歌德巴赫猜想命题：每个大偶数2n（n≥3）都可以表示为两奇素数之和。
用G（1，1）表示“素数+素数”的式子的数目，简称式数，也表示“素数+素数”的式子。
定理：大偶数2n（n≥481）可以表示为两奇素数和的式数下限公式为：
            3   5    4    6    8    9           q[k]
G（1，1）≮---×--×---×---×---×---×……×-------- －１
            7   18   2    4    6    7          q[k]-2
（作者没有写明q代表什么，从分析中容易知道应该代表的是相应的合数）
证明：另A，B为自然数，且
{A}={1，2，3，……n}，
{B}={2n-1,2n-2,2n-3,……n+1,n}，
2n=A+B=1+(2n-1)=2+(2n-2)=……=(n-1)+(n+1)=n+n。
以上共有n式，分三种情形；
    一：A与B至少有一个为合数；
    二：A=1，B=2n-1，式数为1
    三：A、B皆为素数，即G（1，1）。从n式中筛除一、二两种情形，剩下的就是G（1，1）。
    ∵2n=A+B=2k+(2n-2k)
    ∴A，B一定同为偶数，则在n式中A，B同为偶数的式子有n/2，（假设有4n/7式），A，B都不是偶数的式数则有n/2，（按少处算，假设有，3n/7式）。
    再从3n/7中分别筛除{A}及{B}中，3的倍数含量，又引理2可知（1/3用，13/36代替，多筛除）：
     3n    13   3     3    3     5
    ----－---×---n－---n=---×----n
     7     36   7     7    7    18
    从i≥3开始，对{A}及{B}中，5，7，11……p[r]倍数含量筛除时，依次进行加强，分别用1/3，1/5，1/7……1/p[r]进行筛除，A=1，B=2n-1为素数时，还应再减去1，得
              3   5   1   3   5   9         p[r-1]-2
G（1，1）≮［--×--n×--×--×--×--×……×----------］－１
              7  18   3   5   7  11          p[r-1]
　  3  5n   1   2   3   4       p[r-1]-2  4   6         q[k]
=［--×--×--×--×--×--×……×--------×--×--×……×-------］－１
    7  18   3   4   5   6       p[r-1]    2   4        q[k]-2
    3   5          2n           4   6   8   9  10        q[k]
=［--×--×------------------×--×--×--×--×--×……×-------］-１
    7  18   (p[r-1]-1)p[r-1]    2   4   6   7   8       q[k]-2
    ∵p[r-1]〈sqr(2n)（sqr代表根号）
               2n                  2n                 sqr(2n)
    ∴------------------〉------------------------＝------------〉１
       (p[r-1]-1)p[r-1]    (sqr(2n)-1)·(sqr(2n))     sqr(2n)-1

      
                2n
用1代替------------------  由此得：
        (p[r-1]-1)p[r-1]

            3    5   4    6    8    9           q[k]
G（1，1）≮---×--×---×---×---×---×……×-------- －１
            7   18   2    4    6    7          q[k]-2
      q[k]          28        q[k]
又∵--------〉1，将---之后的---------都用1代替，可得
    (q[k]-2)        26      (q[k]-2)
              3    5   4    6    8    9   10   12   14   15   16
G（1，1）≮［---×--×---×---×---×---×---×---×---×---×---×
              7   18   2    4    6    7    8   10   12   13   14
       18   20   21   22   24   25   26   27   28
      ---×---×---×---×---×---×---×---×---］－１＝２，证毕！
       16   18   19   20   22   23   24   25   26
      由以上定理可知，当2n≥962时，歌德巴赫猜想成立，又当2n〈962时，早已验证，所以歌德巴赫猜想成立。

                      ［参考文献］
［１］陈景润。初等数论。１９７８
［２］王寸臻，严春友，宇宙全息统一论，山东出版社，１９８８

bardo

楼主实际没有看到，这些外行，实际都非常精于别人不懂的那一部分。

jingl

　鲁思顺的论文有创新之处,但未完全证明.

wangyangke

旧闻联播----------大寨出了国务院副总理；

尚九天

    內行司空见惯, (习以为常),
    外行冷眼相看, (啥都新鲜),
    此所以,
           在 特定的条件下,
                           ---- 外行 可以胜于 内行 的缘故.
但是,別忘了,
             几乎在所有的情况下,
                                 ---- 外行 都不如 內行.

lusishun

  jingl  先生：
  您说的
      “但未完全证明.”是不是我在原稿中没有写进去的
1.覆盖定理，
2.等差互补数列的相等比例定理。

lusishun

在这里：
“再从3n/7中分别筛除{A}及{B}中，3的倍数含量，又引理2可知（1/3用，13/36代替，多筛除）：
    3n    13   3     3    3     5
   ----－---×---n－---n=---×----n   ”
    7     36   7     7    7    18
从“分别筛除{A}及{B}中”
      大家可以看出我的证明是两筛法，这里就要用到
     等差互补数列的相等比例定理，这也是最重要的。我把它隐藏了。

  

wangyangkee

根儿不蠢懂意淫，俞老夫妻享美名，，，，^