李明波的“魔叶”与“魔星”性质很相似----天山草

波浪 · 发表于 2007-9-15 18:12

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李明波的“魔叶定理”是在研究“拿破仑三角形”过程中发现的。
拿破仑·波拿巴（Papoleon，1769-1821），出生在地中海的科西嘉岛，毕业于法国炮兵学校，曾任炮兵军官。他对射击、测量几何、三角学颇有研究，1804年做“法兰西第一帝国”皇帝之前，他曾与当代的著名数学家拉普拉斯、拉格朗日讨论过数学问题。“拿破仑三角形”就是他数学活动的代表作。
以任意给定的三角形ABC的三条边为边，向形外或者形内分别做三个正三角形，新做的正三角形的“中心”（形心）为D、E、F，将它们连接起来，得到△DEF，拿破仑发现，这个△DEF一定是个正三角形，称为“拿破仑三角形”。
如果当初是向△ABC“外面”做新三角形，则△DEF叫做“拿破仑外三角形”，如果当初是向△ABC“里面”做新三角形，则△DEF叫做“拿破仑内三角形”。无论是“内三角形”还是“外三角形”，都是正三角形。这位“拿皇帝”先生还发现，“外三角形与内三角形面积之差，一定恰好等于△ABC的面积”。拉普拉斯对拿破仑的发现和证明很是佩服。
李明波在此基础上考虑的是，如果以△ABC的各边向外（向内）做的不是正三角形，而是正四边形（正方形）、正五边形，……，情况又将如何？△DEF还会是正三角形吗？
http://www.channelwest.com/bbs/showtopic.asp?TOPIC_ID=23045&Forum_id=10&page=
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波浪 · 发表于 2007-9-15 18:15

[这个贴子最后由波浪在 2007/09/15 06:23pm 第 1 次编辑]

李明波发现，“拿破仑三角形”除了上述性质以外，还有一个“三线共点”的性质：就是AD、BE、CF三线共点，它们交于一点P。天山草在使用CAD作图时发现，如果以P点为“相似中心”，将△DEF放大或缩小，则放大或缩小了的、与原△DEF相似的三角形各顶点一定是在AD、BE、CF这三条直线上（或其延长线上）。

波浪 · 发表于 2007-9-15 18:16

[这个贴子最后由波浪在 2007/09/15 06:21pm 第 3 次编辑]

李明波发现，如果以△ABC的各边向外（向内）做的不是正三角形，而是正四边形（正方形）、正五边形，……，则△DEF不再是正三角形，但AD、BE、CF三线共点的性质仍然不变。另外，以三线交点P为“相似中心”将△DEF放大或缩小，则得到的各相似三角形的顶点一定是在AD、BE、CF这三条直线上或其延长线上。

波浪 · 发表于 2007-9-15 18:24

上图是以△ABC的各边向外做正七边形的情况。“尺规作正七边形”虽然不可能，但用AutoCAD 作正七边形却易如反掌，一条指令就行了。
如果对照李明波魔星定理的内容可以看到，这两个“双魔定理”有其共同之处，“魔星”是研究“莫莱三角形”的副产品，“魔叶”是研究“拿破仑三角形”的副产品。“莫莱三角形”和“拿破仑三角形”都是正三角形，当扩展到“一般情况”时，“双魔”中的“正三角形”都将蜕变成一般三角形，只有“三线共点”的性质能够保留下来。另外，在两种“双魔”情况下，以三线交点为相似中心进行放大或缩小得到的那些相似三角形的各顶点，都不会脱离“三条直线”的轨道。

波浪 · 发表于 2007-9-25 17:47

这是李明波大侠回赠天山草大侠的书法作品。
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波浪 · 发表于 2008-2-1 12:34