求证此式

liuwudang

2blademaster

有人做了吗
有人回了他支一下哟　
免得浪费咱时间呵

liuwudang

怎么没人回啊？

zhaolu48

这是对n阶等差数列:
1^n,2^n,3^n,…,k^n,…
进行n阶差分的结果，因此等式成立。
对不了解n阶等差数列的这一性质的网友，要直接证明它是比较麻烦的。
下面从头试证之。
先证明对数列{a(k)}：
a(1),a(2),…,a(k),…
的n阶差分为
Σ(i=0,n)(-1)^i*C(n,i)*a(n+k-i)
所谓{a(k)}的一阶差分数列就是数列：
{a(k+1)-a(k)},即把数列
a(2)-a(1),a(3)-a(2),…,a(k+1)-a(k),…
称为{a(k)}的(一阶)差分数列。
令b(k)=a(k+1)-a(k)
数列{b(k)}的差分数列称为数列{a(k)}的二阶差分数列，而
b(k+1)-b(k)=(a(k+2)-a(k+1))-(a(k+1)-a(k))=a(k+2)-2a(k+1)+a(k)
=C(2,0)a(k+2)-C(2,1)a(k+1)+C(2,2)a(k)
根据杨辉三角恒等式，用数学归纳法容易证明数列{a(k)}的n阶差分数列为：
Σ(i=0,n)(-1)^i*C(n,i)*a(n+k-i)。
下面再依次对数列{k^n}求它的一阶差分数列，二阶差分数列，……n阶差分数列：
因为：
(k+1)^n-k^n=(k^n+nk^(n-1)+……)-k^n
=nk^(n-1)+……
n(k+1)^(n-1)-nk^(n-1)=n(n-1)k^(n-2)+……
……  ……  ……  ……  ……  …… ……
n(n-1)(n-2)…*3*(k+1)^2-n(n-1)(n-2)…*3*k^2
=n(n-1)(n-2)…*3*2*k
  n(n-1)(n-2)…*3*2*(k+1)-n(n-1)(n-2)…*3*2*k=n!
由此可知，数列{k^n}的n阶差分数列为常数列n!。即
Σ(i=0,n)(-1)^i*C(n,i)*(n+k-i)^n=n!
证毕。

wangyangkee

俞氏良种-------俞根强，理直气壮闹蠢货