求教关于正定矩阵的凸性问题

qianxian

假设A，B为两个n阶的正定矩阵，a为0到1之间的某个实数。p为实数。 求证：当1<=p<=2或-1<=p<=0时，aA^p+(1-a)B^p-[aA+(1-a)B]^p为半正定矩阵，当0<=p<=1时，aA^p+(1-a)B^p-[aA+(1-a)B]^p为半负定矩阵。 注：aA^p表示A的p次方再乘以a

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/03/02 11:48am 第 3 次编辑]

此题证明如下：

qianxian

谢谢您的解答，不过其中有一步没看懂，
B^{-1/2p} A^p B^{-1/2p}=( B^{-1/2}A B^{-1/2} )^p
这是为什么呢?

luyuanhong

楼上提出的疑问有道理，我在证明中误把矩阵的乘方当作数字的乘方了，下列等式
B^{-p/2} A^p B^{-p/2}=( B^{-1/2}A B^{-1/2} )^p
是不一定成立的（除非 A，B 有相同的特征向量）。
这样看来，我在上面给出的证明，其实离开最后的结果，还有一段距离，不能算是已经完成的证明（我已经在2楼中作了修改和说明）。

luyuanhong