关于连续统假设的否定性证明（摘要）

lvchenjun

关于连续统假设的否定性证明大纲（1）
吕陈君
一、对集合论基础的重新考察
解决连续统假设，首先要对集合论基础进行重新考察，即对像“集合”、“序数”、“基数”、“一一对应”等这些基本概念和基本关系进行重新定义，这涉及到对无穷概念要有一种更加本质的理解。
康托的超穷序数理论是直观理解无穷集合的一种根本方法，其实质是承认全体自然数集合N的存在，然后利用不断加1的方法构造出越来越大的超穷数集合来。这样，从1开始，通过不断加1，就可以形成越来越大的超穷序数序列：
1，2，…，n，……
ω，ω+1，…，2ω,… ，ω^2,…，ω^n,……（ω^2表示ω平方，ω^n表示ω的n次方）
ω1，…，ω2，…，ωn，……
任何一个比N大的集合原则上都可以排列成上述一种序数序列形式，即所有集合都是良序的（但连续统除外）。网上许多人都没有弄清楚ω的含义，认为ω+ω=ω、ω×ω=ω不可思议，这算是初等错误了。
但康托理论并没有对超穷序数的“层次”作出精确的描述，这是它最大的缺陷，许多悖论也由此产生。直观地讲，不同无穷集合及其元素都属于某一特定的逻辑层次的，一般来说，一个集合的元素如果属于n层次，那么该集合就是一个n+1层次的集合。更精确的，我们用“序型”这个概念来描述集合的大小和层次。譬如，所有基数等于ωi的序数构成一个“层次”「ωi」，那么排列一个集合S（即排成一个良序集），其首尾两个序数为α 和β，其中α 和β为「ωi」中的两个序数，那么S的“序型”就是一个闭开区间
［α ，β﹚
它精确地描述了S属于哪个“层次”和究竟“多大”。我们可以引入如下一个定义：
（定义） 令x为一个i层的集合，其序型为［α ，β﹚，那么「ωi」中所有≥β的序数的集合就记作｛Ix｝。
在集合论中，集合x与其补集合﹁x、集合x和｛x｝的关系无疑是最基本的，根据上述定义，我们可以给出这两种关系一种“精确性”的定义：
（定义）ξ为任一序数，则ξ∈﹁x蕴涵ξ∈｛Ix｝，但反之不成立。
上述定义就意味着：一个i层的集合x，其补集合﹁x的取值范围不能扩张到宇宙中的全体对象，而必须限制在i层内，否则就会导致逻辑上的困难，譬如归纳逻辑里的“亨佩尔悖论”，就是由于对﹁x的取值范围不加限制而造成的。
接着，我们给出集合｛x｝一种构造性的定义，即
｛x｝=：x∪｛Ix｝
｛x｝就成为x的“超限集合”，把x扩充为｛x｝就称为“超限扩充”。为了进一步说明x和｛x｝有何不同，我们需要引入两个规则：
（规则）ξ为任一序数，则ξ∈｛Ix｝蕴涵ξ∝x且ξ≮x，但反之不成立。(ξ∝x表示“ξ是x的真子集”，ξ≮x表示“ξ不是x的元素”。)
（规则）ξ为任一序数，则ξ∈x蕴涵ξ∈｛x｝且ξ≮｛Ix｝，但反之不成立。
上述两个规则就意味着：｛x｝的元素都是x的真子集，但并非所有x的真子集都是｛x｝的元素。
接着我们来讨论一一对应与基数的关系，这在集合论中也是最基本的。对此人们已经形成一个基本信条，即两个集合的元素之间若能一一对应，则它们的基数（即元素数目）就相等，反之亦然。但这种信条忽略了两个集合的元素的层次情况，因为按照集合层次论的观点，一个集合的元素也是一个“集合”，它是由更低层次的元素构成的（直到化归为0层的元素为止），如果要比较两个集合基数的大小，就必须把它们的元素化归为同一层次的“构成元素”时才能比较。在非标准分析中，某些实数“点”也是无限可分的，这与我们集合的元素无限可分的情形相似。我经常提到的例子是，3／4这个有理数元素，按照莫斯托夫斯基的方法，它可以化归为一个无序对集合｛｛3｝，｛3，4｝｝，那它的基数就是2。所以，在直观上，我们就可以得出一个结论：
（规则） 只有x1和x2属于同一层次且x1和x2之间一一对应时，才能得出x1和x2的基数相等，但反之不成立。更强的一种形式为：x1和x2属于同一层次、x1和x2之间一一对应和x1和x2的基数相等，其任两个条件一起都能导出其他一个条件。
最后我们来讨论子集合问题。弗兰克尔曾明确指出过：“康托认为，S的子集合就是S的一部分，子集合公理和选择公理产生的子集合可能与康托的子集合概念有很大差别。在没有弄清楚子集合的明确含义之前，不可能确定子集合的数目。”这里一个关键性的步骤就是，对于任一集合x，我们要找到一种方法，来将x的子集合来排成一个良序集P^∞(x)，P^∞(x) 就称为x的“超幂集合”，需要注意的是：P^∞(x) 不一定等于x的幂集合P(x)。这就是我们解决连续统假设一个关键性的思想。
（未完待续）
补记：这里对x和﹁x、｛x｝、x的子集合之间的关系分别作了一个直观的定义，一一对应和基数的关系也被重新解释了，关键是集合的层次概念。我说的不可能很详细和深入，不知大家能否理解这些其实是十分简单的观念。可能要给我一块黑板，我比划着说大家就都能听懂了，而看文字有时就像读电脑操作程序的说明书一样，很难读懂，但只要有人给你操作一下，你就一下子明白了。

我在这里的主要做法就是，利用序数和层次的观点，对x和﹁x、｛x｝、x的子集合之间的关系作了一种较为“精确”的定义，这种定义很大程度上都是纯构造性的，我不能明确说它们究竟有何意义，只是在形式上看它们就表示那样一种“意思”。
在已知的集合论里，对许多基本概念都没有“精确”的定义，譬如﹁x和｛x｝的定义。像“集合x是y的一个元素”这样的关系，其实也有两种不同的情况，一种情况为“x是y的一个元素并且也是y的一个真子集”，另一种情况为“x是y的一个元素但不是y的真子集”，前者如一个自然数n既是N一个元素又是N的有穷子集，后者如非标准分析中的“无限自然数”ξ，ξ是N的一个元素但不是N的一个子集。这些细微的区别是需要弄清楚的。
关于子集合问题，需要说明的是，我们不能想当然的认为x的幂集合（即x的所有子集合的集合）存在，在公理集合论中，只有幂集合公理是非构造性的。 关键是我们要把x的子集合排列成一个良序集，尽量把x的子集合的集合都构造出来。如排列x的子集合，显然就要用｛Ix｝中的序数来排列，但问题在于：｛Ix｝中的序数“容量”是有限的以至于不能把x的所有子集合都排列完。在下一节里，我们就来排列这个良序，进入实质性的证明程序。

lvchenjun

关于连续统假设的否定性证明大纲（2）
吕陈君
摘要：这一节主要是探讨如何来将一个无穷集合x的子集合进行良序化，这样得到的一个集合称为x的“超幂集合”，记作P^∞(x)，它与x的幂集合P（x）并不一定相等。关键是要对P^∞(x)的序型结构作出一种“精确的”的描述。
二、将任一无穷集x的子集合良序化的一种构造性方法
x0就称为初始集合，且x0也为一良序集。首先，必须明确指出所谓良序集的涵义：任意集合x0，假如1）它有一个最小元素μ1，2）对其任一元素μi，都有一个后续元素μi﹢1，且在μi和μi﹢1之间没有其他元素，3）x0没有最大元素，我们把这样的集合才叫作“（无穷）良序集”。也就是说，初始集合x0可以排列成如下一种序列形式：
x0：μ1，μ2，…，μi，……
下面我们就来把上述一种序列形式的无穷集合的子集合进行良序化。根据选择公理和子集合公理，我们可以这样来排列：先从x0中选出μ1作为“代表元素”，将包含μ1为元素的x0的子集合排列成如下一个无穷序列
f（μ1）：｛μ1｝，｛μ1，μ2｝，｛μ1，μ3｝，｛μ1，μ2，μ3｝，｛μ1，μ2，μ3，μ4｝，……
显然，f（μ1）为一良序集。令x0的基数等于 α，则f（μ1）的序型就等于
［α ，α^2﹚
这就是一种“精确的”的描述。然后，我们依次选出μ2，μ3，……来作为“代表元素”，直至把所有的μi都选完。令P^∞(∪μi)（μi∈x0）表示“无限次地枚选包含前i个元素的x0的子集合所构成的集合”，即可得到
P^∞(μ1)，P^∞(μ1∪μ2)，…，P^∞(∪μi)，……
这样一个无穷集合序列，再令
｛f（μi）｝=：P^∞(∪μi)－P^∞(∪μi－1)
集合｛f（μi）｝就表示P^∞(x0)上的第i个“截段”，并且对于任一μi∈x0，都有μi∈｛f（μi）｝。将｛f（μi）｝去掉括号｛…｝后，即可得到P^∞(x0)的一种排列形式
P^∞(x0)：f（μ1），f（μ2），…，f（μi），……
其中每一个f（μi）都是一个良序集
｛μi｝，｛μi，μi＋1｝，｛μi，μi＋2｝，｛μi，μi＋1，μi＋2｝，｛μi，μi＋1，μi＋2，μi＋3｝，……
其序型等于
［α^i ，α^i＋1﹚
由于每一个f（μi）都是良序的，所以P^∞(x0)就是一个良序集，这里需要我们把f（μi）看成是一个“凝聚”起来的更高层次的元素，即一个“函元素”。不难看出，P^∞(x0)的序型结构与康托的超穷序数序列是严格对应的。
令x1＝P^∞(x0)，由替换公理，就可以定义如下一个双射
f：x0→x1
且f是重复的，即对任一μ∈x0，都可以形成f（μ）、f（f(（μ）)、……的无穷序列。
这样，从初始集合x0，就可以自然形成x1＝P^∞(x0)、x2＝P^∞（P^∞(x0)）、……的无穷集合序列，即有
x0：μ1，μ2，…，μi，……
x1：f（μ1），f（μ2），…，f（μi），……
x2：f(f（μ1）)，f(f（μ2）)，…，f(f（μi）)，……
…
xn: f^n（μ1），f^n（μ2），…，f^n（μi），……
……
或表示为如下的映射
f^1：x0→x1
f^2：x1→x2
…
f^n：xn－1→xn
……
f^n就称为第n层的超幂扩充，xn－1和xn都称为“在f^n辖下”。这样限定定义域的层次后，就使得生成的无穷序列f（μ）、f（f(（μ）)、……中产生了一个自然中断，这样f^n( f^n（μ）)和f^n＋1( f^n（μ）)就是两个不同层次的序数。但我们规定：xn从f^n到f^n＋1辖下为一超限扩充，即有
f^n：xn→｛xn｝
对于每个f^n（μ）（μ∈xn－1）而言，f^n（μ）要么就排在xn－1的层次内，那它就是xn－1的一个真子集，要么就不排在xn－1的层次内，那它就不是xn－1的一个真子集（这里的论证省略了，本来是放在集合论基础中讨论的，这里只能给出结论）。这样，在f^n辖下，就把xn＝P^∞(xn－1)分成如下两个互补的集合：
f^n（xn－1）＝：｛f^n（μ）︳μ∈xn－1∧f^n（μ）是xn－1的真子集｝
﹁f^n（xn－1）＝：｛f^n（μ）︳μ∈xn－1∧f^n（μ）不是xn－1的真子集｝
同理，｛xn｝也被分成两个互补集合：
f^n（xn）＝：｛f^n( f^n（μ）)︳μ∈xn－1∧f^n( f^n（μ）)是xn的元素｝
﹁f^n（xn）＝：｛f^n( f^n（μ）)︳μ∈xn－1∧f^n( f^n（μ）)不是xn的元素｝
我们可以确定如下两个规则：
（规则） f^n（xn－1）蕴含f^n（xn）蕴含f^n（｛xn｝）
（规则） f^n＋1（xn）等价于f^n（｛xn｝）
接着，我们引入如下两个重要的概念：
（定义） 对于f^n：xn－1→xn，若对任一μ∈xn－1，都有f^n（μ）是xn－1的真子集或f^n( f^n（μ）)是xn的元素，就称xn－1或xn在f^n辖下为一“闭域”。
（定义） 对于f^n：xn－1→xn，若至少有一μ∈xn－1，使得f^n（μ）不是xn－1的真子集或f^n( f^n（μ）)不是xn的元素，就称xn－1或xn在f^n辖下为一“开域”。
最后，我们可以证明两个定理：
（定理） 对于任一f^n：xn－1→xn，xn－1必为一开域，但xn可为一闭域也可为一开域。
（定理） 对于任一f^n：xn－1→xn，1）若xn为一闭域，由f^n（xn－1）蕴含f^n（xn）则可推出﹁f^n（xn）蕴含﹁f^n（xn－1）；2）若xn为一开域，由f^n（xn－1）蕴含f^n（xn）则不可推出﹁f^n（xn）蕴含﹁f^n（xn－1）。
这样，我们就把对无穷的直观理解转换成一系列的逻辑格式，这些格式在形式上无疑是十分优美的。我们就作出了一个数学结构，可以用它来解决连续统问题。形式化以后，推导过程就得依靠符号之间的逻辑关系来进行了，这就脱离了其直观的涵义，无法再用自然语言来描述了。像“f^n＋1（xn）等价于f^n（｛xn｝）”这样一个规则，是何等的优美自然，简直是神来之笔，它在整个证明中起到了关键的桥梁作用，把两个不同层次的集合天衣无缝地连接起来了，但我确实说不出它有什么具体的涵义。一个优美的数学证明，就如一部巨大的机器，它的各个齿轮之间要连接得非常吻合才能运转起来。
（未完待续）

数学爱好者A

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[szie=4]
……
任何一个比N大的集合原则上都可以排列成上述一种序数序列形式，即所有集合都是良序的（但连续统除外）。网上许多人都没有弄清楚ω的含义，认为ω+ω=ω、ω×ω=ω不可思议，这算是初等错误了。
但康托理论并没有对超穷序数的“层次”作出精确的描述，这是它最大的缺陷，许多悖论也由此产生。直观地讲，不同无穷集合及其元素都属于某一特定的逻辑层次的，一般来说，一个集合的元素如果属于n层次，那么该集合就是一个n+1层次的集合。更精确的，我们用“序型”这个概念来描述集合的大小和层次。譬如，所有基数等于ωi的序数构成一个“层次”「ωi」，那么排列一个集合S（即排成一个良序集），其首尾两个序数为α 和β，其中α 和β为「ωi」中的两个序数，那么S的“序型”就是一个闭开区间
……

lvchenjun先生：你好象搞错了吧！ω+ω=∪{ω+n|n∈ω}。序数的加法和基数的加法不一样！ω×ω怎么定义？
目前的集合论不是康托原始理论了！而是基于ZFC公理的集合论！在这个集合论中没有分层概念，也没有悖论！
连续统假说相对ZFC公理体系是独立的！也就是说连续统假说肯定和否定都不是ZFC公理体系的定理。
如果你不承认ZFC公理体系，那么你就应该先建立自己的公理体系。然后再来看连续统假说的肯定和否定是不是你的系统中的定理！
所有基数等于ωi的序数构成一个“层次”「ωi」，那么排列一个集合S（即排成一个良序集）
请问这个集合S仅仅是序数还是可以是其他集合?

lvchenjun

关于连续统假设的否定性证明大纲（3）
吕陈君
摘要：这一节主要讨论在超幂扩充的条件下，一个集合的一致性和完备性是如何体现出来的，并最终证明这两个性质是互补的。这就类似于哥德尔两个不完备性定理。从本节开始，我们将更多地讨论数学哲学问题。
三、一致性和完备性，等价性定理：有关哲学讨论
现在我们来讨论一个超幂扩充f^n：xn－1→xn的语义定义，为简便写成f：x→x′这种形式。
（定义） 对于f：x→x′，V称为赋值函数，即对于任一μ∈x，赋值V（μ）为
V（μ）＝1，当μ∈f（x）
V（μ）＝ －1，当μ∈﹁f（x）
V（μ）＝0，当μ≮f（x）且μ≮﹁f（x）〔μ≮f（x）表示不是f（x）的元素〕
赋值V（μ）满足的是Bochvar三值逻辑系统.，而利用卡尔纳普外延内涵方法，我们可以构造这样一个三值逻辑系统的语义说明，但在此不详细展开了。这和经典理论有很大不同，经典集合论（包括公理集合论）是一个二值系统，而且它有个很大的缺陷就是不能定义补集合。赋值为0就意味着，这样一个系统是不完备的，即有些元素（命题）是不确定的。当μ∈f（x）（或μ∈﹁f（x））时，肯定就有μ≮﹁f（x）（或μ≮f（x））；但当μ≮f（x）（或μ≮﹁f（x））时，却不一定有μ∈﹁f（x）（或μ∈f（x））。这就意味着排中律不是普遍成立的。哥德尔不完备性定理其实就是这个意思。
下面，我们给出一致性和完备性的定义：
（定义）对于f：x→x′，1）x是完备的，当且仅当，对于任一μ∈x，都有μ∈f（x）或者μ∈﹁f（x）；2）x是一致的，当且仅当，对于任一μ∈x，都有μ≮﹁f（x）。
这里，需要对一致性的定义作些解释，因为一致性的通常定义是：对于任一μ∈x，都有μ∈f（x）和μ∈﹁f（x）不能同时成立。我们给出的定义要严格的多，且不常见，我是在王宪钧《数理逻辑引论》（北京大学出版社1982年版，88页-92页）上看到这种定义形式的，正好就用上了。有兴趣的读者可以去参看一下。对x′的一致性和完备性也可以作同样的定义。
接着，我们就可以证明如下两个定理：
（定理） 对于f：x→x′，x或x′是一致的，当且仅当，x或x′为一闭域。
（定理） 对于f：x→x′，x或x′是完备的，当且仅当，x或x′为一开域。
这两个定理在整个证明中起到了基本的构造性作用。由于闭域和开域的性质是互补的，所以在超幂扩充中，一个集合的一致性和完备性也是互补的。这样，这两个定理就类似于哥德尔两个不完备性定理了，但要比它们更强。
我想强调的一个观点是：在数学系统中，不完备性是普遍存在的。譬如，一个系统S是不完备的，但我们可以构造出一个更大的系统S′来满足S的完备性，但S′的完备性又不能满足了。只有极少数几个包含自然数的数学系统是完备的。我们只要想想在数论中还有那么多没被证明的命题，就会意识到这个问题的真实性。同样，如果我们用反证法来证明一个数学命题时，这种证明就永远存在风险，只有直接的构造证明才能避免风险，但这又很难做到，人们不得不在数学证明中大量地使用反证法。因此才有希尔伯特反对直觉主义的那句话：“谁反对数学家用反证法，就像反对拳击家用拳头和天文学家用望远镜一样。”而要消除不完备性，就必须构造更大的系统，但终极意义上的完备性是不存在的。这也许就是数学的魅力所在。
（未完待续）

lvchenjun

回复：
1、康托理论是公理集合论的直观基础，公理集论是康托理论的形式化，避免了悖论，但公理集论也有自己的问题；
2、序数也是一个集合；
3、简单回复，后续再谈。

数学爱好者A

公理集论也有自己的问题？
什么问题？

数学爱好者A

如果用三值逻辑，那这个公理体系和元体系都不一样了！
相当于完全建立一套体系了！

lvchenjun

公理集合论有什么问题？要回答这个问题，我至少要写一篇长文，才能说得清楚。
商务出过一本《数理哲学译文集》（1988年版），收录了八位大数学家对连续统假设不可判定性结果的评价，里面谈到了他们对集合论基础和数学基础的看法，可以读来参考。总的来说，有三种不太一样的意见：一种认为现有的集合论是不完备的，应该去寻找更基本、更实在、更直观、更完备的集合论公理体系，来判定连续统假设，如哥德尔、莫斯托夫斯基；第二种是形式主义的观点，认为不可判定性是可以接受的，集合论公理只要满足形式上的自洽就行了，因此现有的集合论是没有问题的，它们仅仅只是“符号的游戏”，如罗宾逊；第三种介于上述两种意见之间，认为可以构造不同的集合论公理系统，就像能够构造不同的几何学公理体系那样，如柯恩。
现在我们来问：公理集合论有何问题？按照柯恩的看法，可以构造不同的集合论公理系统，连续统假设在其中一些系统中可以成立，但在另一些系统中可以不成立，就像平行线公理在欧式几何及非欧几何中的情况那样。最极端的看法是，实数（连续统）的基数可以等于任何一个超穷基数（从阿列夫零一直到任一阿列夫），只要我们能够构造出满足这一性质的特殊公理，譬如像大基数公理。但是，这些特殊构造的公理都缺乏直观性，很难让人接受。
所以，现有的公理集合论有何问题，恰恰就是连续统假设的不可判定性，这其实是一个“悖论”。人们实实在在知道的两个无穷集就是自然数集和实数集，连续统假设要求对这两个集合的关系做出一个基本判定，这个判定，正如希尔伯特说的：“我们必须知道！我们必定知道！”所以，我的看法同哥德尔的一致，现有的公理集合论是不完备的，我们必须重新去发现、完善集合论基础，来对连续统假设做出一种判定结果。我花了将近十年时间，构造出了这样的一个结构，对连续统假设做出了一种否定性的判定。

数学爱好者A

[这个贴子最后由数学爱好者A在 2008/07/30 02:35pm 第 2 次编辑]

如果连续统假说是“悖论”，那么几何的第五公设同样是“悖论”！
连续统假设的不可判定性并不是说我们不知道它是否正确，而是说连续统假设和其逆命题都不是ZFC的定理！
在ZFC下，连续统的势大于Aleph0可是定理。因此不可能有连续统的势在从Aleph0到Aleph1。
另外，你要把三值逻辑作为数理逻辑的的基础，那么你应该先给出三值逻辑的命题和谓词的构成规则，运算规则来。然后用这些规则来构成三值逻辑的元数学！

lvchenjun

关于连续统假设的否定性证明大纲（4）
吕陈君
摘要：本节主要讨论各种无穷集合的存在性问题，譬如无穷公理的性质、可数集和不可数集的区别、幂集合的存在性等等。本节集中了我对无穷观的哲学认识。
四、无穷公理、可数和不可数、幂集合定理：有关哲学讨论
在集合论中，最重要的问题是如何看待各种无穷集合的存在性。我认为，最基本的是两条：首先，必须承认全体有穷数集合ω0的存在；其次，在ω0的基础上，可以逐步构造出更大的无穷集合来。这两条，我认为是符合数学的实际情况的。
（规则） 全体有穷数的总体构成一个无穷集合，即至少存在一个最小的无穷集合ω0满足：1)0∈ω0,2)若x∈ω0，则﹛x﹜∈ω0。
上述无穷公理，我称之为“非构造性的无穷公理”，即ω0的存在是自然的、先验的、无条件的，这是数学的基础所在。但一旦承认全体有穷数ω0的总体存在后，立即就会产生许多新的复杂元素或实体，譬如像“ω0的无穷元素”这样的新概念。只要承认无穷，哪怕是最简单的ω0，藩朵拉的魔盒就被打开了，这是我最深刻的一个感受。
比ω0大的集合都是需要逐步构造出来的，因此，我提出第二个无穷公理：
（规则） S比ω0大，确定S 的总体存在，当且仅当，可以把S扩充为一个更大的集合S′，S包含在S′内且S′本身是一致的。
上述无穷公理，我称之为“构造性的无穷公理”。看上去比较复杂，其实意思是很清楚的：一个集合S只有被某个一致性的集合S′完全包含时，其边界才是可以确定的，否则，我们就无法确定一个无穷集合的边界。伯尔奈斯也有过类似的解释：“当我们能在所采用的系统里推导出一个公式‘对任何x，A(x)’，我们也并不能因之知道A(x)是否真地对所有的x都成立，除非这个系统的一致性证明已经给出。”这条公理应该是可以成立的。实际上，一个无穷集合的存在性与其完备性是等价的，可以通过证明其完备性来证明其存在性。这是我与管理员的讨论中，认识到的一个新概念。
按照通常的观点：一个可数集就是可以与ω0形成一一对应的集合，它和ω0一样大；而一个不可数集就是不能与ω0形成一一对应的集合，它比ω0要大。但利用一一对应来区分可数集和不可数集，其实是一个错误的观点。因为可数集和不可数集都是良序集，它们都是以ω0的排列顺序为“模子”而构造出来的，用超穷归纳法就可证明它们都是一一对应的。勒贝斯格就这样说过，可数集和不可数集其实没有什么区别。实际上，可数集和不可数集的区别还是存在的，只是不能用一一对应的方法来描述，必须采取其他的方法。网上有不少所谓实数可数的证明，这其实并不奇怪，因为从良序的观点来看，实数确实像是“可数”的。所以，我对不可数集的定义就是：比ω0大的集合都是不可数集，但它们都和ω0一一对应。
下面我们进一步来讨论幂集合的存在性问题，即对一个超幂扩充f：x→x′而言，x′是否等于x的幂集合P（x）。
我们先来证明如下两条引理：
（引理）对于f：x→x′，x′是完备的，当且仅当，对于任一μ∈x，都有μ∈f（μ）或者μ≮f（μ）。
（引理）对于f：x→x′，x′＝P（x），当且仅当，对于任一μ∈x，都有μ∈f（μ）或者μ≮f（μ）。
对第二条引理，我们证明如下：
证明 1）充分性：已知x′＝P（x），即x′中包含了x的所有子集合，所以，就至少有一μ∈x，使得μ∈f（μ），则对于任一μ∈x，都有μ∈f（μ）或者μ≮f（μ）。
2）必要性：已知对于任一μ∈x，都有μ∈f（μ）或者μ≮f（μ）。若假设x′≠P（x），即x′中不包含x的所有子集合，则可定义如下一个集合：
S＝：﹛s|s是x的真子集且s不是x′的元素﹜
令μs∈x且f（μs）＝s，S就是这样一个集合，其元素s仅仅是x的那些元素μ：这些元素μ不是其对应者f（μ）的元素。但μs是不是s的元素？若μs是f（μs）的元素，即μs∈f（μs），但根据s的定义，又有μs≮f（μs），则自相矛盾；若μs不是f（μs）的元素，即μs≮f（μs），但根据s的定义，又有μs∈f（μs），则自相矛盾。所以，就至少有一μs∈x，使得μs∈f（μs）和μs≮f（μs）都不成立。这就与已知的结果矛盾，所以假设x′≠P（x）不成立，即有x′＝P（x）。证毕
上述证明利用了元素自指的性质，我也不太确定这种方法是否正确，但在数学中确有先例。由上述两个引理，即可得到
（定理）对于f：x→x′，x′＝P（x），当且仅当，x′是完备的（即为一开域）。
利用上述定理和无穷公理，我们可以进一步证明两个有关幂集合存在的定理：
（定理）对于超幂扩充f：ω0→ω1，在非构造性的情况下，ω1＝P（ω0），即P（ω0）存在。
（定理）S比ω0大，对于超幂扩充f：S→S′,在构造性的情况下，S′≠P（S），即P（S）不存在。
上述两个定理就意味着，对于可数集，其幂集合是存在的，而对不可数集，其幂集合不存在。所以，就不能用幂集合的方法来形成更大的无穷集合。这样一来，广义连续统假设也就不成立了。
（未完待续）