三角不等式，谁能证明？

wangyangke

数学界元老王元在数论导引之补充中的一个不等式，谁能给出证明？

波斯猫猫

符号π（x）表示不超过x的素数的个数。
设π（x）=m=（1，x〕，π（y）=n=（1，y〕，π（x+y）=r=（1，x+y〕，因为随着自然数的递增，素数越来越稀疏，所以在自然数的个数相等的两个间隔内，后面“间隔”内的素数个数不超过前面“间隔”内的素数个数，故（y，x+y〕=（1，x+y〕—（1，y〕≤（1，x〕，即r—n≤m，也就是m+n≥r，即π（x）+π（y）≥π（x+y），其中，X≥2.





随着自然数的递增，素数越来越稀疏，所以在自然数的个数相等的两个间隔内，后面“间隔”内的素数个数不超过前面“间隔”内的素数个数，经查阅，这个结论“后面“间隔”内的素数个数不超过前面“间隔”内的素数个数”的确是需要证明的，不能直接用。

wangyangke

三角不等式，谁能证明？

wangyangke

       
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任在深

发表于 2009-4-20 21:45 | 只看该作者 回帖奖励

试证:
   π(x)+π(y)≥π(x+y)
证
   由中华单位论的单位个数定理知:
                  Mn+12(√Mn-1)
  (1) π(Mn)=-------------------
                      Am
   因此
                X+12(√X-1)
   (2)π(x)=----------------
                      Ax
               Y+12(√Y-1)
   (3)π(y)=---------------
                Ay
                     ( X+Y)+12(√(X+Y)-1)
   (4)π(X+Y)=----------------------------
                                 A(x+y)
1) 当 X≤100,Y≤100,X+Y≤100,  Ax=Ay=A(x+y)～8
  所以:
                  (X+Y)+12(√(X+Y)-1)
(5)  π(x+y)=--------------------------
                              8
           X+12(√X-1)
(6)π(x)=--------------
                8
            Y+12(√Y-1)
(7)π(y)=-------------
                  8
因此
  (6)+(7)得:

                       X+12(√X-1)     Y+12(√Y-1)    X+Y+12(√X+√Y)-24
(8) π(x)+π(y)= -------------- + ------------------=---------------------------
                             8                    8                         8
假设 π(x)+π(y)≥ π(x+y)
则:
    由(5),(8)式得
   12(√X+√Y)-24≥12√(X+Y)-12
   (9) √X+√Y≥√(X+Y)+1,    显然本式当X≥4,Y≥4时成立.
     ①  X=Y=4
左边=4,右边=√8+1, 4≥√8+1,  
     ② X=Y=16
左边=8,右边=√32+1, 8≥√32+1,
     ③ X=4,Y=16,
左边=6,右边=√20+1, 6≥√20+1,  
    显然当 X≥4,Y≥4,X+Y≤100时,  π(x)+π(y)≥π(x+y)成立.
定理：两个基本单位的和大与两个和的基本单位。
2)假设当n=i时成立,
那么
3)当n=i+1时也成立.
   由中华单位论的最大单位个数(素数)的系数知:
    当 X=i+1=U,Y=j+1=V, X+Y=U+V
则:
    Au=√U-1,Av=√V-1,A(u+v)=√(U+V)-1
因此
                 U+12(√U-1)
   (10) π(u)=---------------- = √U+12
                      √U-1
                  V+12(√V-1)
  (11) π(v)=-----------------=√V+12
                        √V-1
                   ( U+V)+12(√(U+V)-1)
  (12)π(u+v)=---------------------------=√(U+V)+12
                          √(U+V)-1
令π(u)+π(v)≥π(u+v)
即 √U+12+√V+12≥√(U+V)+12
   (13) √U+√V≥√(U+V)-12
由(9) √X+√Y≥√(X+Y)+1,    显然本式当X≥4,Y≥4时成立.可知
当 X=i+1=U,Y=j+1=V, 时   π(x)+π(y)≥π(x+y) 也成立.(加1成立,那么减12则更成立!)
   证毕.
                       欢迎批评指教!

wangyangke

任在深，牛，，，

任在深

wangyangke 发表于 2020-1-13 14:28
任在深，牛，，，

楼主！
      只说“牛”没用！
       要理解牛在哪里？

wangyangke

牛在哪里,牛在牛忠友，。，，

任在深

wangyangke 发表于 2020-1-14 08:31
牛在哪里,牛在牛忠友，。，，

王老？
      这是治学的态度吗？
      欢迎提出不同的宝贵的意见！