[原创]线段无限放大的缝隙不变法

顽石

[watermark]                     线段无限放大的缝隙不变法
    在数学基础理论中，最核心的问题，我认为是：数轴中点与点之间是否存在缝隙的问题。其它有关的问题，相对来说比较次要。因此，我想用变换的方法来论述缝隙的存在。
    变换的方法是将0至1线段，用点依次逐步无限插入，后再逐步放大，目的是使缝隙能让人们都看得真切。而线段中的点的数量，与放大或不放大都没有关系。就象康托尔将线段变成任意长或变成任意短，而其中的点数量没有变化那样。变换的具体步骤如下：
    1）1位二进制小数仅有一个为0.1插入0至1线段的中央，将某长度线段，例如1厘米长线段分成为两半线段。二进制小数0.1就是我们所熟悉的十进制分数1/2
    2）二进制2位小数仅有2个为0.01，0.11皆依次插入每个线段的中央，变成4个线段。0.01和0.11就是1/4和3/4分数。
    3）3位小数仅有4个为0.001，0.011，0.101，0.111皆依次插入每个线段的中央变成8个线段。即为分数1/8，3/8，5/8，7/8。
    4）4位小数仅有8个为0.0001，0.0011，0.0101，0.0111，0.1001，0.1011，0.1101，0.1111，即1/16至15/16的8个分数。皆依次插入每个线段的中央，变成16个线段。
    5）5位小数仅有2^4个为0.00001至0.11111，即分别是1/32至31/32的16个分数。皆依次插入每个线段的中央，变成32个线段。
    ………
    6）n位小数仅有2^（n-1）个，即分别就是1/2^n至（2^n-1）/2^n的2^（n-1）个分数。皆依次插入每个线段的中央，变成2^n个线段。n趋向无穷大。至此，所有的二进制小数已全部排列完毕，若有人认为没有全部排完，那就继续。反正排完或没排完，每个缝隙都是1/2^n
    7）被无限分割后的线段长度是1/2^n，因为n趋向无穷大，因此1/2^n就是无穷小。如果这个长度，无法看清楚难以理解，那么，可在完成上述每一个步骤的同时，皆扩大到原来的2倍。因为经过了n个步骤，那么就已将1厘米长度线段，扩大到了无穷长的2^n倍的2^n厘米，使分割后线段长度，即每两点之间的缝隙，始终保持1厘米长。
    8）未扩大前，缝隙与整线段的比值，即1/2^n厘米与1厘米的比值是1/2^n  扩大后的比值，即1厘米与2^n厘米的比值也是1/2^n
    不管是原来1厘米整线段还是扩大后的2^n厘米无穷长线段，都是包含了全部小数的所谓“连续统”，但这个“连续统”是由无穷多个1维空间的缝隙构成的，而绝不是被没有长度的无穷多个点所填满的。
经过逐步放大，无穷小缝隙变换成原本0至1线段的长度；而原本0至1线段的长度，变成了向两边无限伸展的无穷长直线。这其实就是用相似法推理，所得到的是看得见的缝隙，谁有勇气来否定这些无穷多的客观存在的缝隙？！[/watermark]

尚九天

数轴上任意相邻两点之间有“间隙”否?
                                ---- 九天曰：“无”.
数轴上任意指出的相邻两点之间有“间隙”否?
                                          ---- 九天曰：有.

顽石

九天兄回答很巧妙！

尚九天

下面引用由顽石在 2008/09/15 11:56pm 发表的内容：
九天兄回答很巧妙！

    关键在“指”,
                 ---- 一指便有,不指便无.
这大概就是：
            ---- “一指禅”吧?!

wangyangkee