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[推荐]三元数的几篇文章

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发表于 2008-9-15 09:24 | 显示全部楼层 |阅读模式
复数系扩张论:   http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=500&start=12&show=0&man=
[原创]推翻多位历史大家结论 创立乘法可换三维复数:   http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=1509
超越复数的三元数-从复平面到三维数空间:  http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=2617
我的"三元数到n元数发现"   http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=4188&show=0
满足交换律和结合律的三元数与复数的关系:  http://bbs.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3776
百度的一篇文章:  http://zhidao.baidu.com/question/52863714.html
发表于 2008-9-15 09:39 | 显示全部楼层

[推荐]三元数的几篇文章

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/09/15 09:41am 第 1 次编辑]

我在《数学中国》论坛上发表的有关三元数的帖子:
一种满足交换律和结合律的三元数:   http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3770
满足交换律和结合律的三元数与复数的关系:   http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3776
满足交换律和结合律的三元数的几何意义:   http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3780
三元数的指数、对数和三角函数:   http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3785
三元数函数的导数和积分:   http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3791

我在《数学中国》论坛上发表的有关n元数的帖子:
一种满足交换律和结合律的n元数:  http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3797
n元数的矩阵表示及其在n元数乘方、开方运算中的应用:http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3808
n元数的指数、对数和三角函数:  http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3810
欢迎大家观看、研究,并提出宝贵意见!
发表于 2008-9-15 12:30 | 显示全部楼层

[推荐]三元数的几篇文章

   毋庸讳言,:以上的文章中,luyuanhong老师的文章是最符合学术规范的,其严谨性无可置疑,zhaolu老师的文章有些粗燥,但许伟刚老师修改过(也肯能是单独研究)的文章已经初具规模,有了相当的深度,《超越复数的三元数-从复平面到三维数空间》无疑是最简洁、优美、和谐、统一的一篇精致论文,但仍稍有单薄,好像有大量后续工作需要做的!
    不知各位有何更好的看法?[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 数学小不点 时添加 -=-=-=-=-
可能打成了“肯”,抱歉!
 楼主| 发表于 2008-9-15 13:22 | 显示全部楼层

[推荐]三元数的几篇文章

感谢两位老师,非常希望看到三元数对一些基本定理,例如三垂线定理、直线垂直平面的判定定理的代数表示。
发表于 2008-9-15 15:31 | 显示全部楼层

[推荐]三元数的几篇文章

陆教授:我看了您的《一种满足结合律和交换律的三元数》,有个小看法,请您指教:
您开始定义:i^2=j.j^2=i.ij=ji=1
而ij=1
ij^2=j
i^2=j
就是说,后面的两个定义可以推出前面的第一个定义,第一个定义就没必要定义,而可以称为定理。
另外,我认为0,1都满足上面的i,j定义,从定义上能推出i,j是1的复数立方根,但不能推出是你说的那两个立方根,你没有理由把0,1排除在复数立方根之外。
因此,只能直接规定出i,j的那两个表示。或i,j不能为实数。
发表于 2008-9-15 16:25 | 显示全部楼层

[推荐]三元数的几篇文章

[这个贴子最后由luyuanhong在 2008/09/15 04:32pm 第 2 次编辑]

    楼上 simpley 说得不错,在定义:i^2=j , j^2=i , ij=ji=1 中,有一部分是多余的。
    我当时写的时候,考虑得最多的是怎么能让大家容易看懂,没有太多注意理论上的严谨性。
    其实,三元数是n元数的一个特例,可以模仿我定义n元数的方法来定义三元数:
定义  在实数域 R 中添加一个元素 i ,它满足下列运算法则:i^3=1 。
    除此以外,i 可以像普通实数一样作各种运算,满足各种实数运算法则。
    下列形式的数 x=a+bi+cj  (其中 j=i^2 ,a,b,c∈R )称为(满足交换律和结合律的)三元数。
    注:上面给出的 i 并不是实数 1 ,也不是复数 -1/2+√(-3)/2 或 -1/2-√(-3)/2  。
    我们应该把 i 看作是一个既不是实数、也不是复数的特殊的元素。

    你看,照上面这样定义,是不是就比较严谨了?
发表于 2008-9-15 17:00 | 显示全部楼层

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[这个贴子最后由simpley在 2008/09/15 05:21pm 第 3 次编辑]

实际上那三个定义可以根据任意两个推出第三个.
另外,按照您的规则,这个运算系统符合环的定义.环有这样的性质:
一个环无零因子当且仅当它满足消去律.您这个系统有零因子,那就不满足消去律.
即由ab=ac(a不等0)
不能得出b=c
但是按规则它在乘法上符合群的定义,既然是一个群,ax=d就有惟一解,从而又可得出b=c,从而运算又满足消去律.产生矛盾.
即不存在这样的环,它有零因子,但在乘法上又是一个群.
或许您定义的这个系统就是矛盾的,因而是不成立的.
我不敢妄下断语,仅供参考.
发表于 2008-9-15 18:19 | 显示全部楼层

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你去仔细看一下环的定义,就可以知道:
一个环,只要求其中的“加法”运算构成一个群,并不要求其中的“乘法”运算构成一个群。
事实上,我们熟悉的绝大多数的环,其中的“乘法”运算都不构成一个群。
就拿普通的“有理数环”来说,其中 ax=d 就不一定有唯一解,例如当 a=d=0 时,x 可以是任何数。
在“有理数环”中,从 ab=ac 也并不一定能得出 b=c ,例如当 a=0 时,从 0b=0c 不能推出必有 b=c 。
所以,有“有理数环”中的“乘法”运算,显然不构成一个群。
我们都知道,环可以分为两大类:一类是“有零因子环”,一类是“无零因子环”。
在“有零因子环”中,即使把“零元(0)”排除在乘法之外,它的“乘法”运算也不构成一个群。
我定义的“满足交换律和结合律的三元数”就是一个“有零因子环”,其中的“乘法”运算当然不构成一个群,
我看不出这里有什么“矛盾”的地方。
发表于 2008-9-15 18:30 | 显示全部楼层

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[这个贴子最后由simpley在 2008/09/15 06:36pm 第 1 次编辑]

一个环,只要求其中的“加法”运算构成一个群,并不要求其中的“乘法”运算构成一个群。您说的对.
但“乘法”运算也可以是一个群,按照定义,“乘法”是一个半群就可以,群也是一个半群.(但半群不一定是群)
群的定义:1.满足结合律  2.存在单位元素.3.存在逆元素.
你的乘法规则都符合,所以您的乘法是一个群
而在群中,ax=d 就一定有唯一解
您的文章中没有直接说乘法存在逆元素,但讲了乘法存在逆运算,我认为这与逆元素等价.
对每个a都有a/a=1,这里我们就可以把/a看作a的逆元素
发表于 2008-9-15 18:56 | 显示全部楼层

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是我搞错了。
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