1850年,科克曼在《女士与先生之日记》杂志上发表了题为"疑问六"的文章,提出了15个女学生问题:一位女教师每天带领好班上的15名女生去散步,他把这些女生按3人一组分成5组,问能不能作出一个连续散步7天的分组计划,使得任意两个女生曾被分到一组且仅被分到一组,也就是说,随便从15人中挑出2 人,她俩在一周所分成的35个小组里必在一组中见过一面,且仅见一面.这个是组合数学里的问题。 解决这一问题并不很困难,凯莱首先给出了一个答案,然后科克曼发表了他自己的答案,当然在他提出这一问题时他就已经知道了答案。西尔维斯特(J.J.Sylvester)对这一问题也有研究,后来他就谁先想到这一问题与科克曼有过争论。
科克曼在同一刊物上公布了他自己给出的一个答案如下(1至15代表15个女生):
星期日 {1, 2, 3},{4, 8, 12},{5, 10, 15},{6, 11, 13},{7, 9, 14};
星期一 {1, 4, 5},{2, 8, 10},{3, 13, 14},{6, 9, 15},{7, 11, 12};
星期二 {1, 6, 7},{2, 9, 11},{3, 12, 15},{4, 10, 14},{5, 8, 13};
星期三 {1, 8, 9},{2,12,14},{3, 5, 6}, {4, 11, 15},{7, 10, 13};
星期四 {1, 10, 11},{2, 13, 15},{3, 4, 7},{5, 9, 12},{6, 8, 14};
星期五 {1, 12, 13},{2, 4, 6},{3, 9, 10},{5, 11, 14},{7, 8, 15};
星期六 {1, 14, 15},{2, 5, 7},{3, 8 ,11},{4, 9, 13},{6, 10, 12}。
这个解是一个15阶科克曼三元系,其中v=15,k=3,λ=1。科克曼不但解决了斯坦纳三元系的存在性问题,同时还对r的每个素数值,给出了参数为v=r2+r+1,k=r+1,λ=1的2-设计,即现称作的有限射影平面。他应用循环差集构造 r=4、r=8的射影平面,也发现参数为v=2n,k=4,λ=1的3-设计和其他几种特殊的设计。可以说,科克曼是组合设计之父。 |