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第六讲 涉及非标准分析的两个问题与圆的概念
12 数轴的概念问题
关于数轴，H. Jerome Keisler, （ ISBN 0-87150-213-5, Printed in the United States of America, 1976）第1页第28页讲到：“我们不要为实数的名称所愚弄，实数集纯粹是数学家的创作，它可以是也可以不是现实空间中直线的精确写照。”、“我们无法识别现实空间中的直线真正是什么；它可以是超实数线、实数线或者两者都不是”。事实上，现行教科书与非标准分析对数轴的讨论都是不够深入的；它们都没有与线段测量的实际情况联系起来。为了解决这个问题，首先必须以线段长度的近似度量为基础去建立如下的近似数轴的概念。
定义12.1 在点与数的对应误差界为1/10的情况下，我们可以设想在较高的精度要求下把长度为20个单位的现实直线段足够准近似地区分为长度为1/100的2000个小线段。然后“从左至右”把第一个至第五个小线段合起来作为第一个近似现实点，并用含有一位小数的十进小数 -10.0表示它；再把第6个至第15个小线段合起来作为第二个近似现实点， 用含有一位小数的十进小数-9.9表示它，……；把第996个至第1005个小线段合起来作为第101个近似现实点，用含有一位小数的十进小数0.0表示它，把第1006至第1015个小线段合起来作为第102个近似现实点，用含有一位小数的十进小数0.1表示它，……；把最后5个小线段合起来作为第201个近似现实点，用含有一位小数的十进小数10.0表示它。这样做成的近似现实点与其表达数字之间的对应误差小于1/10。我们称：有了这种近似现实点及其对应表达数字之后的这个现实直线段是误差界1/10之下的近似现实数轴。
定义12.2 在“假定误差界可以无限减小而趋向于零”的条件下，继误差界1/10之下的近似现实数轴之后，在“误差界”提高到1/100的情况下，我们可以将长度为200个单位的现实直线段在较高的精度要求下区分成长度为1/1000的200000小线段，然后“从左至右”把第一个至第五个小线段合起来作为第一个近似现实点，用含有2位小数的十进小数-100.00表示它；……；这样我们就有了误差界为1/100的近似数轴；再继续下去，我们又有误差界等于1/1000、1/10000、……之下的近似现实数轴序列。我们称这个近似现实数轴序列为全能近似数轴序列。
在这个全能近似数轴上，存在着与所有的无限循环和无限不循环小数对应的全能近似点列；根据第二讲中的实数公理和第三讲中的理想点公理（公理5.1），这些全能近似点列的极限是与所有理想实数一一对应的理想点。于是我们又可以提出下边的定义。
定义12.3 全能近似数轴的极限叫做理想数轴。
根据上述几个定义，我们应当说：1º 直线（理想直线的定义将在第8讲给出）作为与理想实数一一对应的理想点的集合的说法是一种无法实现的理想；能与实践联系的说法必须是：线段是由近似点组成的观点。2º 理想实数集是“近似实数集”的极限（这一点已在第四讲具体说明了）；理想实数集是人们无法构成的集合。这是应用实数集时必须注意的性质。
笔者的这个数轴概念，显然是不同于非标准分析中的超实数线的概念；而是与现行数学分析中的实数线较为接近，但也有不同的数轴概念。因为：我们是从近似点出发的使用极限概念的数轴；我们应当知道：理想实数集是人们无法构成的集合。我们还应当说：只有有长度的近似点的集合能够构成线段；但理想点的集合不能构成线段。还有，对于理想点，不能提出“相邻两点”的概念与名词，但对近似点可以。
13 无穷小的概念问题
自从牛顿与莱布尼茨创立微积分学的时候到现在，一直存在着“无穷小是什么呢？”的争论；目前的争论表现在：《非标准分析》中的无限小数与现行数学分析中的“无穷小”不同。关于这个争论，哥德尔（Gödel）在《非标准分析》第二版序言中讲到：“无论从哪方面看，非标准分析都会成为未来的数学分析”。笔者不同意这个观点，因为：非标准分析依赖的是ZFC公理集合论与模型论；笔者已经讲了这个公理体系中的无穷公理是有问题的公理；此外，从这个体系与模型论中的“有限性原理”出发得出的那种“绝对值小于一切正实数而大于0的无限小数”是没有现实事物作依据的（或者说：现实世界中不存在这样的数量）。
A.鲁宾逊在《非标准分析》第二版的最后一章(参看华中工学院出版社出版，陆传务 余明曦 马继芳 罗汝梅等译A.鲁宾逊著《非标准分析》158页)不得不讲到莱布尼茨的观点：“他完全赞成微积分学中引进无限小量和无限大量，但把它们设想为有点象虚数那样的理想元素。……，说它是使误差小于任何给定数的足够大或足够小的数量。”A.鲁宾逊在这一页还引用了莱布尼茨的话“……这里我们不必要严格地来看无限大，而仅仅如同光学中所说的，太阳的光线是从无穷远点发出来的，从而……。因为我们也可以不用无限大或无限小，而用足够大或足够小的量，……”。更明确的是：人民出版社出版的中共中央马、恩、列、斯著作编译局译，罗森塔尔 尤金编 《简明哲学辞典》541页讲道：“恩格斯指出：各个天体也是无限小的原型，因为这些天体比起它们之间的空间距离来就显得非常小，以致在数学中可以把他们当作无限小来处理。数学分析所以在科学上具有重大意义，就是因为无限大、无限小的概念是从物质世界的实在关系中抽象出来的。所以无限和有限是两个只有在相互联系中才存在的，相互渗透的对立面。”
以上这些论述与我们第一讲中解决瞬时速度问题的方法是一致的，都是使用近似方法、使用无限依赖于有限的方法解释问题的。
我们对无穷公理的讨论以及上述论述与都说明：《非标准分析》中的无限大数与无限小数的提出是没有实践根据的，剩下的只有A.鲁宾逊在《非标准分析》一再强调的“除了表达形式之外，它们与阿基米德的方式没有什么区别，而我们的方法更直接，更合乎发明的艺术”(参看华中工学院出版社出版，陆传务 余明曦 马继芳 罗汝梅等译A.鲁宾逊著《非标准分析》169页)。但是这种艺术不能引进了不可理解的无限小数，这种无限小数是不能有的违背阿基米德性质的数域中的数。更重要的是：非标准分析无法解决我们提出的瞬时速度的问题；超实数域违背了阿基米德性质。所以，《非标准分析》应当被抛弃。
根据前文中对瞬时速度的讨论可以看出：只要在现行的教科书的“无穷小是以0为极限的一种无穷数列”的叙述中，承认“极限值是不能达到的”，承认前文中的“理想瞬时上的运动速度是没有实际意义的，但它可以通过近似瞬时上的运动速度而获得意义；近似速度不够准确，但可以通过全能近似瞬时速度序列而提高。”问题就解决了。所以，在《非标准分析》与现行数学分析的争论中，我抛弃前者，而对后者只是稍加改革与说明。在笔者改革后的微积分学中，笔者明确指出：表达“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的数列 是一个无穷小，这个数列的每一项都不是0，但它的极限时0；由于它的每一项都不是0，所以在计算导数时，它可以被用作除数，但在求极限值时，又可以把它看作0。笔者称这种无穷小为“辩证数”。 笔者还指出：“微分是 意义的无穷小”，进一步的讨论可参看第12讲。
14 圆的周长、圆的概念与曲线长度的问题
14.1 什么是圆周长的问题
在数学分析或高等数学的教科书中有一个重要极限： 。关于这个极限的证明，现行教科书或“文化大革命”前的教科书中都使用了圆的扇形面积和圆弧长的计算公式，而在这些教科书的积分学中又应用积分理论证明了这些公式。关于这个问题，上海市大学教材编写组编《高等数学》(上海人民出版社，1973) 在11-12页的分析之后总结性的讲道：“在确立这个大前提的时候，实际上已经用到了结论里面的东西”。为此，在这个文献96页中证明这个问题时，使用的是“在一定条件下，直线和曲线是一回事的基本原理”；具体的讲，用了“在 的条件下，弧和弦终于等同起来的极限表达式： ” 。我的看法是：第一，这个文献中提出的问题是需要研究并给予回答的问题；第二，这个文献中解决方法也有问题。这个问题是：还需要研究一下：文献中所用的上述极限表达式是怎么得到的？和“弧长究竟是什么？”的问题。
关于上述问题，从马忠林译，Д.И.ПЕРЕПЁЛКИЙ 《初等几何学教程》（高等教育出版社，1955版）139页的定理与140页的小字（注意：……）中可以看出：圆的周长是需要用极限理论回答的问题，这个问题可以不用积分学去解决，因此，前述文献的指責“在确立这个大前提的时候，实际上已经用到了结论里面的东西”可以取消。但是，仔细考察一下前述第二个文献中的解决方法，可以发现：他们依赖的定理也有值得讨论的问题。他们的定理的具体叙述是：“存在一个唯一的线段，它大于已知圆周的所有内接正多边形周长，且同时它小于这圆周的所有外切正多边形周长”。这个叙述说明该书的作者已经承认了圆周长是存在的，这个叙述也意味着圆周是可求长的曲线，但根据现行数学理论，曲线可求长是有条件的。所以这个定理也有问题。为此，我们需要先研究一下“什么是圆？什么是圆周长？”的问题。
14.2理想圆周的概念及其在圆周长计算中的应用
现行教科书中的圆周的定义是：在平面上与定点有等距离的点的集合。如果要问这样定义的圆周是什么，就需要先解释点是什么。从这一点来看，希尔伯特的没有给出“点”的解释的《几何基础》是无能为力的；从欧几里得《几何原本》中的点的概念出发，我们可以说：“点是没有大小的”。但没有大小的点不能构成有长度的曲线。所以这个圆周的定义不恰当、不完善。为此，笔者经过反复考虑之后，提出了如下的定义。
定义14.1 理想平面上满足以下四个条件的理想点的集合叫做理想圆周：①这个集合是理想平面上与一个定点（理想点）有一定距离的所有理想点的集合；②这些点的集合把平面分作曲线的内部与外部两部分；③在每一个点处都有确定的切线；④曲线的内接多边形与外切多边形的周长，当最大边长无限缩小时有共同的极限。
定义14.2 上述定义中的共同极限叫做理想圆周的周长。
只有在上述两个定义下，我们才可以说：理想圆周是可求长的曲线，而且他的长度可以用上述极限方法计算。而且只有这样才可以根据上述第二个文献第39页中的“被环抱的凸折线短于环保凸折线”的定理说“理想圆周长大于已知圆周的所有内接正多边形周长，且同时小于这个圆周的所有外切正多边形周长”。
有了这个圆周长的概念与性质，我们就可以应用求极限的“夹逼准则”，或只用内接多边形周长的极限去计算圆周长了。具体计算是：首先把圆心角分为n等份后，得出n条射线，然后以这些射线与圆的交点为切点可以得出圆的外切多边形；同时把相邻的交点连起来可以得出圆的内接多边形。最后由于 时，这两个多边形序列的极限相同，可以知道这个极限就是“理想圆”的圆周长。我们的讨论还说明：有了上述定义之后，求“内接多边形周长极限”的计算只是圆周长的一个计算方法，而不需要再以此来定义圆的周长。其次，根据极限值不能达到的性质，应当把现行教科书中的等式 中的等号改为全能近似等号 ~ 。
从上述定义还可以看出：人们可以说：圆周是到定点的距离不变的动点的运动轨迹。也可是说：圆周是凸多边形顶点到定点相等的、边长无限缩小凸多边形序列的极限；这个序列可以叫做理想圆周的全能近似圆周，序列中的边长足够短的凸多边形叫做足够准近似圆周。从这种概念可以看出：工人可以用锉刀锉成近似圆周（或者近似的说：锉成圆周）。
14.3可求长曲线与曲线的定义问题
上述圆周与圆周长的探讨可以说是一个钻牛角性质的探讨。一般的讲，可以认为：任何现实曲线都是有长度的，而且是可求长的。但是从理论上讲，这个探讨也是必要的，它将使我们的理论进一步完善起来。为此，笔者进一步寻找可求长曲线与曲线的定义。首先，笔者从手边的文献——同济大学编《高等数学》（1988年第3版）上册353页中的定义看到如下的定义与定理。
“如果此折线长 的极限存在，则称此极限为曲线弧 的弧长，并称此曲线弧 是可求长的。”
“定理：光滑曲线弧是可求长的。”
然后笔者又在1982年东北工学院出版的，王运达译（日）石原繁著《微分几何概论》第3页看到如下的定义。
“开区间I在E3里的映射 叫做曲线”
根据这个定义，我们就可以说：定义在数轴的一个区间上的一个函数的图像就是一个曲线。这样理解的曲线可以是不可求长的；但根据上述定理，只要逐段有连续的导数，那么就可以求其长度了。至于不可求长的曲线是否存在是否需要研究的问题，笔者将在第11讲中再讨论。但从上述资料来看，这是一个需要研究的问题。
思考题
1 “我们不要为实数的名称所愚弄，实数集纯粹是数学家的创作，它可以是也可以不是现实空间中直线的精确写照。”、“我们无法识别现实空间中的直线真正是什么；它可以是超实数线、实数线或者两者都不是。” 这两句H. Jerome Keisler的话应当如何理解？
2 微积分学中的“无穷小”究竟是什么？
3 什么是圆周？什么是圆周长？
4 在什么条件下，可以说曲线是可求长的？
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发表于 2008-9-26 06:35
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