在着色过程中动态的证明四色猜测

雷明85639720

在着色过程中动态的证明四色猜测
雷  明
（二○二○年元月九日）

给平面图着色时，最关键的是对遇到了与要着色的顶点都相邻的顶点全部已着上了颜色的情况的处理，特别是与待着色顶点相邻的顶点已占用完了四种颜色的情况。
1、当待着色顶点的相邻顶点所占用的颜色数少于4种时，没有问题，该顶点一定是可以着上四种颜色之一的。
2、待着色顶点的相邻顶点所占用的颜色数已经大到了4时，再看待着色顶点的度是几，若待着色顶点的度是大于5时，则一步一步的把待着色顶点转移到度为不大于5的顶点上去。这是一定可以办到的，因为任何平面图中一定存在着度是小于等于5的顶点。
转移待着色顶点的办法是：把度为大于5的待着色顶点的相邻顶点中所用颜色最少的顶点的颜色，给待着色顶点着上，就会产生一个或几个新的待着色顶点，继续的这样移动下去，一定会找到新的待着色顶点的度是小于等于5的。
3、待着色顶点的度若是不大于5时，再看待着色顶点的度是几。若是小于等于3时，待着色顶点着上四种颜色之也一定是没有问题的；若是等于4时，坎泊已经证明，该顶点着色也是没有问题的。
4、待着色顶点的度若是等于5时，若围栏顶点外的已着色顶点不含双环交叉链时，这种情况坎泊早已证明了是可4—着色的；若虽含有双环交叉链时，但又能连续的移去两个同色时，也是坎泊证明过的是可4—着色的。
以上坎泊证明过是可4—着色的构形我们称之为K—构形，下面所说的构形都是坎泊没有证明是否能可4—着色的H—构形。
5、当H—构形中含有经过了构形三个围栏顶点或经过了构形两个围栏的环形链时，交换环形链内、外的任一条与环形链呈相反色链的链，就可以使双环交叉链断开，构形成为K—构形而可4—着色。
6、当H—构形中不含有经过围栏顶点的环形链时，就只能从两个同色顶点的任何一个顶点开始，交换该顶点的颜色与其对角顶点的颜色构成的色链，使构形转型（构形的峰点位置和两个同色的颜色都发生改变叫转型），进行连续的同一方向的有限次转型交换后，一定会空出一种颜色给待着色顶点的。
既是有限的连续转型，就必须要有一个转型次数的上限。连续转型交换次数的上限是这样确定的：埃雷拉图在进行连续转型时，是以20次转型为周期的无限循环转型的构形。而现在这里的构形却与埃雷拉图不同：埃雷拉图是含有经过了围栏顶点的环形链的构形，可以改用交换环形链内、外的任一条与环形链呈相反色链的链，使双环交叉链断开，构形成为K—构形而可4—着色；而这里的构形却是不含有经过围栏顶点的环形链的构形。一定不可能是无限循环转型的构形。
任何一个构形，在进行连续的转型时，转型次数达不到40次，就不能确定其一定是非埃雷拉图型的非无限转型的构形。而只有达到了40次以上转型以后，又继续产生循环时，才能确定其是埃雷拉图型的无限循环的构形。所以说任何一个非埃雷拉图型的无环形链的构形，一定会在40次转型之前转化成一个可以连续的移去两个同色的K—构形，再进行两次交换，移去两个同色顶点上的颜色，给待着色顶点着上，最大的交换次数是不会大于42次的。实际上我们已经构造出了需要转型大于20次（交换次数大于22次）的多个无环形链的构形了。
但这并不意味着任何无环形链的构形，都得要进行40次以上的转型交换的，而是在很少的几次交换后，很快的就可空出颜色的。这个40只是一个上限值，其意思是说，任何无环形链的构形，在进行转型交换时，转型交换的转型次数最多不会超过40次，到达空出颜色时最多交换次数是不会超过42次的。实际上很多的构形在转型交换几次后都可以转化成有环形链的构形，还可以更早的结束转型。
7、按着以上的方法进行下去，直到把一个图的各个顶点都着上了四种颜色之一时，该平面图的可4—着色就算是完成了。四色猜测也就被证明是正确的了。
这就是在着色的过程中动态的证明四色猜测的方法和过程。这一方法可能是证明四色猜测中最简单的方法了，同时也是给平面图进行4—着色的方法。是兼对四色猜测的证明和给平面图4—着色的方法为一体的一篇很精干的论文。同时又达到了不画图，不着色证明四色猜测的目标。

雷  明
二○二○年元月九日于长安

注：此文已于二○二○年元月十日在《中国博士网》上发表过，网址是：

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

,,,,,,,,,,

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，

雷明85639720

，，，，，，，，