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数学哲学----现有极限论的三大缺陷
欧阳耿
漳州师范学院 数学系，福建 漳州 （363000）
E-mail: oyg2001@163.com
摘要: 通过悬而未决的芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族以及康托在集合论中两个逻辑性错误所暴露的与现有无穷观、数量体系和极限论相关的问题, 研究现有极限论中的缺陷与现有无穷观和数量体系中所存在缺陷之间的密切关系, 分析了长期被忽视的现有经典极限论在体系性、定性操作和定量操作这三个最基本内容中所存在的问题, 揭示了现有经典极限论中的三个主要缺陷与数学基础的缺陷之间的密切关系．
关键词: 实无穷；潜无穷；泛无穷；极限论；数学基础
中图分类号：O143
1．引 言
极限论与“实无穷”和“潜无穷”有关系吗，它需要什么样的基础理论？极限论该如何对与“有穷--无穷”概念相关的数学内容进行科学的定性与定量分析与认识，完成自己的使命? 科学史的研究使我们了解到，这类问题千百年来一直没有得到人们足够的重视[1~10]．本文从最基本的科学态度出发，讨论现有经典极限论中客观存在的三个主要缺陷．
2．现有的经典极限论不成体系
自从人类科学中产生了“无穷”这类概念，人们就开始要系统、全面地研究、认识与“无穷”概念相关的事物，建立与“有穷--无穷”概念相关的理论体系，科学中就出现了许多与“有穷--无穷”概念相关的内容，产生了穷竭思想、极限思想, 构建了穷竭法并演变为沿用至今的专门用来认识、处理与“有穷--无穷”概念相关的数量形式的现有经典极限论．毫无疑问，极限思想和极限论都与“有穷--无穷”概念相关的科学内容密切相关，都需要以无穷观及其相关数量体系(数谱)作为自己的基础理论[1~10]．
2.1基础理论的缺陷决定了现有极限论在理论上不成体系
我们在文[9]中了解到存在于现有经典无穷观中的三大缺陷，其本质是“有穷--无穷”概念的混乱，这些缺陷产生了理论上无法自圆其说、操作上无法实施、永远势不两立的“实无穷--潜无穷”两大学说，将人们对与 “有穷--无穷”概念相关事物的定性研究置于混乱状态．在文[10]中我们讨论了与现有经典无穷观密切相关的现有经典数谱中所存在的两大缺陷，其本质也是“有穷--无穷”概念的混乱，这些缺陷导致了现有经典数谱中数量形式的混乱与缺失，使人们不可能正常、有效、科学地开展对与“有穷--无穷”概念相关事物的定量研究．科学史的研究使我们看到，由于经典无穷观和经典数谱的本质性缺陷，自古以来，人们根本就没有（不可能）把经典无穷观和经典数谱作为现有经典极限论的基础理论-----没办法以它们为基础理论，不知道该以什么东西为基础理论! 所以，在现有经典极限论的理论体系中，人们根本无需（不可能）系统、完整地考虑与研究“有穷”、“无穷”、“实无穷”、“潜无穷”、“整体”、“部分”、“数性”、“数学运算”、“阿基米德性”等重要基本概念及之间的关系，这些在现有经典无穷观和经典数谱中至关重要的概念似乎与现有经典极限论没有多大关系．而在实际操作中，则形成了经典极限论特有的一套与这些基本概念没什么实质性关系的“以远古时代粗糙、笼统的泛无穷观为基本思路的精致穷竭法手艺、技巧”，没有（不可能）用“现有经典无穷观及与之对应的数谱”来指导具体的认知活动 [1~8]！现有极限论在理论上和实际操作上的这种状况不可避免地导致了一种极不协调的状态：作为专门处理与“有穷--无穷”概念相关的事物的一种科学内容，它必然逃脱不了经典无穷观及经典数谱的制约；但另一方面，它必须客观地面对科学大厦中一个个具体的工作对象、认识和处理与“有穷--无穷”概念相关的客观事物，完成自己的使命-----现实世界和自己的使命使它义不容辞地我行我素，将有严重缺陷的经典无穷观及经典数谱中的一些重要内容和基本概念抛到一边．现有经典极限论与现有经典无穷观及相关经典数谱若离若及，这种混乱的局面必然导致现有极限论不成体系．
2.2 基础理论的缺陷决定了现有极限论在操作上不成体系
人们可以非常清楚地看到在现有极限论中存在如下两种互相矛盾的现象：(1) 彻底否认“实无穷”与“潜无穷”概念．由于“实无穷、潜无穷”这两个概念在现有经典无穷观及经典数谱中仅是一种空洞的、无法清楚定义的概念，所以，在现有经典极限理论的深层结构中根本就不可能有“实无穷”与“潜无穷”这两个概念，经典极限论中必然不可能有具体的、专门用于认识和处理“实无穷数量形式”或“潜无穷数量形式”的理论及方法------不管从理论上或操作上，这里就只有一种很朴素原始的、根深蒂固的、笼统的“泛无穷”和与之配套的各种版本的穷竭法[1~10]！因此，在许多场合中，当人们用经典极限论去实际认识、处理任何与“无穷”概念相关的数量形式、进行具体的“极限运算”时，自始至终只字不提“实无穷”或“潜无穷”(似乎不知世界上还有这两个概念)，根本就不可能(不需要)想到要去了解所认识、处理的任何与“无穷”概念相关的某具体数量形式究竟是属于“实无穷”或“潜无穷”，更谈不上会有相应的理论及方法可供人们对它们进行“本应该有所区别”的定性与定量的认识和处理．人们在现有经典无穷理论体系中吵得不可开交的“实无穷、潜无穷”两大阵营在现有经典极限论中消失得如此彻底，被彻底否认 [1~8]．(2) 与如上“彻底否认实无穷与潜无穷”的情况完全相反，人们糊里糊涂地卷入永远不可能有结果的“实无穷--潜无穷”之争，滥用历史悠久、确实存在于现有科学中但却非常空洞、混乱不清的“实无穷、潜无穷” 概念．所以，在许多场合中，当人们用经典极限论去具体认识、处理某些与“有穷--无穷”概念相关的数量形式时，往往处于一种非常典型的“心中无数”状态：既可以将它们当作“不知是什么的实无穷”处理、也可以将它们当作“不知是什么的潜无穷”处理，更妙的是还可以让它们同时具有“实无穷”和“潜无穷”的性质，让操作者自己去决定该在何时让它们成为“实无穷”或“潜无穷”[1~8]，……．这确实是一件很快活的事，真是太自由了! 但却产生了很可悲的后果-----营建了一个千百年来经久不衰的“有穷--无穷悖论基地”[1~8]．由于基础理论的重大缺陷所导致的这种滥用“实无穷”和“潜无穷”概念最典型的例子莫过于270多年前人们编造的那套精致的“ε-δ”形式语言及其相关配套理论．人们在经典极限论中创造了一种与“有穷—无穷”概念相关但却不存在于现有经典数谱中的数量形式----无穷变量．“无穷变量”被说成是一种“一直处于变化中的、不是数的或同时具备‘是数 (实无穷? )--非数(潜无穷? )’双重性质的无穷小或无穷大”．比如说，“微积分中的dx (叫无穷小变量?)”在某时、某处没有 (不会) 充分变小、是数 (实无穷? 极限不为零? )，可以、必须“名正言顺”地参与某些有穷数量形式的求值运算；而过了一会儿却欣喜地“发现”它们突然充分变小、不是数 (突然搬出“ε-δ”形式语言进行检测----潜无穷? 极限为零? )，必须马上“名正言顺”地从该算式中离开．更荒唐的是自古以来，人们还得在不同时期编出各种神秘的“是零—非零”、“极限为零—极限不为零”、“是数--非数”、“实无穷--潜无穷” 、“无穷变量”等数量形式及其相关配套理论，而且必须想方设法要人们相信、接受与现有经典无穷观及经典数谱根本无法相容的这一大堆东西的“科学性”，造成“忽悠极限论”奇观．在数学中，人们必然无法容忍自古就有的这类“逻辑忽悠”现象．迟到的、至今仍然悬而未决的“贝克莱悖论”一针见血地道出自古以来就存在于所有穷竭法和极限运算中的这类“逻辑忽悠”现象的本质[4~10]!
人类几千年科学史告诉我们，现有经典极限论与古代的穷竭法本质上是同一种东西(古代粗糙、广义、表现全过程的穷竭法是不动声色地获得结果，牛顿时代那种直接表现最后阶段的无穷小量穷竭法是用“令”来获得结果，而极限论时代那种靠花言巧语骗宠的“ε-δ”精致变量穷竭法是优雅一点地用“取极限”来获得结果----所有用“ε-δ”语言能处理的事无穷小量法和穷竭法的语言也一样能处理并且可以有完全相同的结果[5]．)，都源自相同的理论框架：自古至今本质上一直未变的现有整个无穷理论体系的深层基础-----“泛无穷观”(不含“实无穷”与“潜无穷”概念)．人类科学中千古不变的这个无穷理论体系的缺陷和极度混乱不仅产生、滋养了使现有科学理论体系束手无策的芝诺悖论、迟到的贝克莱悖论和迟到的罗素悖论这三大悖论家族[1~10]，而且还必然会产生一些很值得深思的、非常荒唐的现象：性质完全相同的事件却有完全不同的两种结果------“阿基里斯永远追不上乌龟事件”成了芝诺的千古悖论，而性质完全相同的“调和级数的加括号法能制造出无穷多个大于1/2数项的事件”却成了数学的基础理论[6~7]；罗素的“T={x|x x}自我矛盾事件”不仅被当作悖论，产生了令人恐慌的第三次数学危机，而且也被当作可以随意打造并到处应用的真理，产生了集合论中很重要的基础理论------康托的实数不可数证明和 证明及其结果[2]．
3.现有经典极限论没办法(不可能)对与“无穷”概念相关的数量形式进行科学的定性认识与处理
我们从文[1~10]中了解到，经典无穷观及经典数谱中所存在的致命缺陷导致现有经典极限论中存在三类理论空白，直接从三个层面上影响、限制了它的功能和科学性，使人们无法正常、有效地开展对与“有穷—无穷”概念相关的内容进行科学的定性分析与认识：(1) 没办法知道所要处理的与“有穷—无穷”概念相关的事物是什么．在现有经典极限论中，一方面是人们既可以说“形如Un→0或Sn→∞的数学内容是似乎具有潜无穷性质的无穷小或无穷大，是函数、是变量、不是数”；也可以说“形如Un→0或Sn→∞的数学内容是似乎具有实无穷性质的任意小或任意大，不是函数、不是变量、是数”；还可以说它们同时既是“实无穷”又是“潜无穷”，或说它们是跟“实无穷、潜无穷”都没有丝毫关系的“泛无穷”，……．另一方面是人们既不可能给出明确的、可以自圆其说的“形如Un→0或Sn→∞的数学内容与实无穷--潜无穷概念相关或无关的理论”，更不可能清楚地描述与“实无穷、潜无穷”概念相关或无关的“形如Un→0或Sn→∞各类数学内容”的特点、之间的各种关系与区别[1~10]．(2) 对如何开始数学中的极限论认知行为心中无数．比如说，不可能建立最基本的“处理对象-----数学运算可行性分析理论”．这类理论空白导致了存在于现有极限论中很经典的“有穷--无穷不分、实无穷--潜无穷不分、阿基米德性不管”现象[1~8]，导致了一种很不负责任的、儿戏般的流水线似的极限运算操作．在现有极限论中，人们可以不管三七二十一地套用统一的语言、统一的步骤去处理任何与“无穷”概念相关的数量形式-----根本不管是“实无穷”或“潜无穷”、不管是否具有“阿基米德性”．比如当人们用现有极限论去处理调和级数而证明其发散时，根本就不会想到应该对调和级数中的数项进行分析 (“是零—非零”?“极限为零—极限不为零”?“是数--非数”?“实无穷--潜无穷”?)，不会想到应该对制造无穷多个大于1/2数项的数学行为的可能性进行分析、了解------没有这种需要、没有这种要求也没有这种能力! 所以必然导致调和级数悖论的产生[4~8]．(3) 没办法认识、解释自己对与“有穷—无穷”概念相关的事物的认知过程及结果．比如说，不可能清楚、科学地认识、解释极限论实际操作中的各种数学行为，特别是既成事实的、神秘的“不是数的无穷小、无穷大”与“是数的任意小、任意大”这两种内容之间可以在某时、某处通过取极限的步骤而互相转化的现象、过程以及最后的结果，所以有贝克莱悖论家族和芝诺悖论家族；不可能清楚、科学地认识、解释极限论实际操作中一直搅得人们心烦意乱的“可能性 (逻辑相容性) 问题”-----这是导致芝诺悖论和第二次数学危机最根本的原因! 正是贝克莱悖论从与芝诺悖论不同的角度拷问自古以来一直都存在于所有极限运算过程中的“与无穷概念相关的数量形式的定性--定量问题和相关运算的可能性 (逻辑相容性) 问题”．由于经典无穷观和经典数谱中所存在的理论缺陷，几百年来人们没办法 (不可能) 看透第二次数学危机和 “贝克莱悖论”的本质-----它所暴露的是自古以来就存在于所有极限运算中的“逻辑忽悠”问题，而非仅仅“微积分中的dx 进出算式问题”或该用什么样的形式语言问题．所以，实际上“ε-δ”语言根本就没有 (不可能) 解决贝克莱悖论和第二次数学危机．悬而未决的贝克莱悖论家族实际上比芝诺悖论家族历史更悠久、规模更庞大，揭露更深刻的理论问题[1~8]！当然，经典极限论中这三类理论空白是个密切相关的“症状群”，该“症状群”道出了病态经典极限论基础理论的致命缺陷, 直接导致了人类科学中自古以来就一直存在的、无法避免的、到处惹事生非的、众多的“实无穷”和“潜无穷”互换、“部分”与“整体”互换、“规律”与“载体”互换和“有穷”与“无穷”互换等现象，而这些正是哲学、数学中与“有穷—无穷”概念相关的许多悖论与难题的根源[1~10]．
几千年来发生在人类数学中与“有穷--无穷”概念密切相关的“逻辑忽悠”现象清楚地暴露了这个科学领域中在本体论、认识论和方法论基础理论上的重大缺陷，而被人们极力推崇、赞颂的“以ε-δ语言解决贝克莱悖论的神奇做法”则成了人类数学哲学错误的“重形式--轻本体”模式的典型代表作．
3．基础理论的缺陷使现有极限论不可能对与“无穷”概念相关的数量形式进行科学的定量认识与处理
从文[1~10]中我们了解到，由于没有明确的“载体”概念及整个载体理论 (数谱) 的混乱与缺失，使人们根本不可能名正言顺地、系统地全面开展对“有穷—无穷”载体 (数量形式) 的认识与研究，导致无法按正常方式科学地对人类科学大厦中与“有穷—无穷”概念相关的事物开展量上的认识、处理与研究．经典无穷观和经典数谱的理论框架决定了在现有的科学大厦中只有三类数量形式可供经典极限论去处理-----“零”、“有穷”和“无穷”，根本就没有别的选择[9、10]！但事实却是在实际的认识“有穷—无穷”事物的科学活动中，经典无穷观要求人们必须处理与经典数谱中这三类数量形式完全不同的数量形式-----“实无穷”和“潜无穷”．无奈，人们只能想办法勉强“凑合”、委屈“套用”经典数谱中的这三类数量形式，让“实无穷”和“潜无穷”委身于经典数谱中的这三类数量形式．所以，一方面要弄出一些名词与言论来使人们相信，在理论上“零”、“有穷”和“无穷”各自都含有很丰富多彩的内涵 (想办法让“实无穷”和“潜无穷”套用、委身于经典数谱中这三类不同数量形式的做法在理论上合法化)；同时却又必须编出另外一些名词与言论来让人相信，“零”、“有穷”和“无穷”在有些场合中是同一种东西，它们之间可以通过在“某时、某处暗中或公开实施取极限”这类操作而互相转化 (想办法让“实无穷”和“潜无穷”互相转化及它们套用、委身于经典数谱中这三类数量形式的做法在操作上合法化)．与“有穷--无穷”概念相关的科学理论体系中基础理论的缺陷所导致的这类自古以来就存在的、很无奈的“逻辑忽悠”思维方式及方法论决定了与“有穷--无穷”概念相关的概念体系和数量体系的混乱，导致了至今仍然悬而未决的芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族的成员在与“无穷小、无穷大”概念密切相关的数学分析和集合论中俯拾即是(如上述发生在所有极限运算中的“无穷小忽悠现象”……．如发生在集合论里关于集合的“大、小”性质研究中的“无穷大忽悠现象”：可以用康托那种利用极限论偷换“整体”与“部分”概念来证明实数集合不可数的一模一样的变魔术法来证明出许多稀奇古怪的结论与定理[2、3]；可以用与基数概念相关(与集合中元素长相和之间顺序无关)的思想来证明一切无穷集合都相等，也可以用与基数概念无关(与集合中元素长相和之间顺序密切相关)的思想来证明一切无穷集合都不相等[1]；……．)，很直观地暴露了自古以来人类数学哲学基础理论中传统的“重形式--轻本体”模式的巨大缺陷-----这是数学哲学的一根软肋，它决定了现有数学哲学一种很不健康的生存状态[1~8]．纵观人类几千年的科学史，我们看到，受经典无穷观及经典数谱的缺陷的影响，当用经典极限论处理与“有穷--无穷”概念相关的具体数量形式时，人们根本就没办法 (不可能) 知道它们在量上究竟是该如何“有”或“无”、如何“实”或“潜”、如何“有穷”或“无穷”-----不知道它们是什么、有多大，因为在现有的经典数谱中不存在这类数量形式！人们遇到的是不知道它们是什么的问题，而不是应该“寻找、构建某种形式语言”的问题 [1~8]! 所以在经典极限论中，根本就不可能有可以专门从量上来认识、区别、处理现有的经典数谱中不存在的与“有穷--无穷”概念密切相关的“实无穷”或“潜无穷”数量形式的任何数学手段，所有与“有穷--无穷”概念相关的数量形式在此都毫无商量地成了“实无穷--潜无穷不分”、“有穷--无穷不分”的空洞的、笼统的“泛无穷”：统一的名称、统一的意思及统一的处理方法．当人们用经典极限论去实际处理与“有穷--无穷”概念相关的具体数量形式时，很自然地把这样的行为当作一种“凭经验来进行的手工操作活动”，所需要的是“手艺、技巧”，而不需要科学、严谨的认知活动时必不可少的、理性的“定性---定量”分析与认识(比如说，不用分析、了解这类数量形式究竟是“实无穷”或“潜无穷”；是“无穷小”、“无穷大”、“无穷多”或是“很小”、“很大”、“很多”；是不是数，是否极限为零；是“整体”或“部分”；是否具有“阿基米德性”；……)．自古以来，在这类事件中，人们只要搬出穷竭法不同时期的形式语言和相关配套理论，机械地将所要处理的数量形式套进去（塞进去）就行了，至于为何那样做，所处理的对象及所处理的结果究竟是什么、有什么样的数量上的性质、如何与现有的理论体系相协调(比如在证明实数集合不可数时，康托先用极限论中的技巧构造出将代表实数集合的序列(1)和序列(2) ，然后用区间套法和对角线法证明了序列(1)和序列(2)确实不可能含有可以由区间套法和对角线法所找出的许多实数．康托实际上仅证明了用极限论中的技巧所构造出的序列(1)和序列(2)确实不可能含有所要证明的实数集合的全体实数，不能用这样的序列来证明实数集合的任何性质，但是他却错误地认为自己证明了实数集合不可数[2]．)……? 都不用问，反正只要操作者有经过一段时间的技术培训，遵守工艺流程，操作技术熟练一些就可以有结果了，绝大多数人对此已经很满足了，不会(也没有能力)对此提出异议[1~8]！这使我们想起了工厂里的“模具”和“老式机械化生产流水线”．而发生在现有经典极限论中的一些事(如调和级数悖论[6])，也会使人想起艺术大师卓别林在他的电影里所表演的那种很夸张的“不管是螺丝帽或人的鼻子都用板手去拧”的滑稽场面 (在极限论这里，确实是真的不知道“有穷”和“无穷”的区别)．然而，这里毕竟是科学，这种局面不仅使科学领域中产生了许多与“有穷—无穷”概念相关的难题与悖论，而且人们还要被迫做一些很无奈、古怪的事-----必须挖空心思、绞尽脑汁在各个不同时期中编造某些形式语言和相关配套理论来使人相信：“零--无穷小 (很小)”、“实无穷--潜无穷”，“有穷--无穷”，“部分--全体”之间既有区别又无区别……．诸如此类非常特殊的、与人类正常的科学理论体系极不协调的、不可完成的、荒唐的“逻辑忽悠”任务居然成了自古以来“穷竭法--极限论”不同时期基础理论研究工作的主要内容之一．很遗憾的是，想要较好完成这类基础理论工作最需要的是玩弄文字游戏的技巧和魔术师、幻术师的技巧而非正确的无穷观和数谱，自古以来已经有许多优秀的科学家为此浪费了无数宝贵的时间与精力! 人类科学中至今仍然悬而未决的三大悖论家族中众多的成员所暴露的各种问题与现象就是这种用错了场合的、错误的、荒唐的流水线式、形式语言模具化、无定性--定量分析的思维方式和操作工艺的典型代表作[1-10]．
5．结论
“无穷观--数谱--极限思想和极限论”是同一种思维方式和认识论的三种不同表现形式，它们在三个层面上各施其职、互相影响、互相支持、密切相关，形成一个盘根错节的、以“有穷—无穷”概念为纽带的完整的“有穷—无穷王国”．悬而未决的芝诺悖论、贝克莱悖论和罗素悖论这三大悖论家族的产生及不断繁荣、壮大客观地暴露了现有经典极限论中这三大缺陷．科学史和基础理论学的研究使我们了解到[11、12]，自古以来人类在“有穷--无穷”领域中错误的思维方式和认识论 (与现代数学哲学三大派系完全无关) 导致了现有经典无穷观和与之密切相关的现有经典数谱中存在很致命的缺陷，决定了现有经典极限论中这三大缺陷的存在，也决定了这三大类缺陷只有在以“新无穷观—新数谱”为基础的新科学理论体系中才可能得到解决．人类几千年的科学史使我们清楚地了解到，自古以来“重形式--轻本体”的数学哲学(包括现代数学哲学三大派系)根本没有能力解决人类科学中与“有穷--无穷”概念密切相关的重大基础理论缺陷-----本体缺失，导致了无穷观、数量体系、极限论、集合论中相互关联的许多缺陷．随着我们研究工作的进一步开展，我们将进入数学哲学的一个新时代，开创数学基础研究的新时代[1-12]．
参考文献：
[1] 欧阳耿．现代数学基础理论中的一个不可解危机[J]．咯什师范学院学报,2005,26（3）:84-87．
[2] 欧阳耿．错用罗素悖论----康托在集合论中的两个逻辑性错误[J]．数学理论与应用,2008,28（3）:44-49．
[3] 欧阳耿．人类科学中现有经典极限论的终结(I) (J).咯什师范学院学报, 2006,27(6),29-34．
[4] 欧阳耿．数学基础理论中的两个缺陷[J]．咯什师院学报,2001,21（1）:44-48．
[5] 欧阳耿．数学分析中悬而未决的问题[J]．井冈山师范学院学报（自然科学版）,1995,16（5）:29－34．
[6] 欧阳耿．芝诺悖论的又一现代翻版----调和级数悖论[J]．咯什师范学院学报,2003,24（6）:25-28．
[7] 欧阳耿．芝诺悖论与贝克莱悖论新解[J]．宜春学院学报,2007,29（6）:29-32．
[8] 欧阳耿．第二次数学危机在现有的科学理论体系中是不可解的[J]．咯什师范学院学报,2006,27（3）:27-30．
[9] 欧阳耿．人类科学中经典无穷理论体系的终结[J]．咯什师范学院学报,2005,26（6）:20-22．
[10] 欧阳耿．数学中三种新的数量形式[J]．咯什师范学院学报,2003,24（3）:31-37．
[11] 欧阳耿．一条金辫：类比-相等性原理-基础理论学[J]．宜春学院学报, 2004,26（4）:23-25．
[12] 欧阳耿．新构建的基础理论学的意义、方法和任务[J]．宜春学院学报,2007,29（4）:42-45．
Mathematical Philosophy----the Three Fatal Defects in Present Limit Theory
OUYANG Geng
Department of Mathematics, Zhangzhou Teachers’ College, Zhangzhou Fujian, P． R． China (363000)
Abstract: Connecting with the long existing problems in present classical infinite theory, number system and limit theory exposed by suspending Zeno’s Paradox, Berkeley’s Paradox and Russell’s Paradox as well as Cantor’s two logical mistakes in set theory, the close relationship between the defects in present infinite theory, number system and the defects in present limit theory are studied. The long neglected defects in the foundation of present classical limit theory of its theoretical system, qualitative operation and quantitative operation are analyzed. The closed relationship between three fatal defects in present classical limit theory and the foundation of mathematics is disclosed.
Key words: actual infinity; potential infinity; general infinity; limit theory; the foundation of mathematics
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发表于 2009-1-19 16:45
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