由曲线的切线引发的关于定积分的一个矛盾。

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木直清风

dy=lim delta(y)=绝对的零？

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下面引用由木直清风在 2009/01/28 03:36pm 发表的内容：
dy=lim delta(y)=绝对的零？

当割线AB与曲线CD的两个交点A、B完全重合时，A（B）才是真正意义上的切线。而当A、B不
完全重合时，不论A、B之间的距离多小，AB都仍只是割线，而不是真正意义上的切线。这种
理解完全符合割线、切线的定义。具体讨论见“圆弧切线引发的一个矛盾”http://www.mathchina.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=5181。
当A、B完全重合时，切线L与曲线CD有且仅有一个交点A（B），这时，显然有：lim△x(A→B
时)=x(A)-x(B)=x(A)-x(A)=绝对0，lim△y(A→B时)=f';[x(A)]△x=y(A)-y(B)=y(A)-y(A)=绝
对0，因此有：∫dy=∫f';(x)dx=lim∑f';(xi)△xi=绝对0，(式中∫dy的积分限为y(A)～y
(B)，∫f';(x)dx的积分限为x(A)～x(B))。

luyuanhong

下面是我的看法：

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luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/01/29 11:52am 第 2 次编辑]

楼主在第6楼中说：“如果 ΔXi≠绝对0 ，则还可以继续对 CD 进行更细的划分，直到 ΔXi＝绝对0 为止。”
“所以说，在2楼的图形中，随着划分无休止地更细地进行下去，ΔXi＝绝对0 是逻辑上的必然结果。”
我看不出这里有什么“逻辑上的必然”。
大家都很清楚：一个不等于绝对的 0 的量，无论怎样细分，永远也不会等于绝对的 0 ，只能成为一个非0无穷小量。
还有，楼主从“绝对0/绝对0＝任意值”，推导出可以有“ dy/dx＝k＝绝对0/绝对0”，再推导出“ dy＝绝对0　，dy＝绝对0 ”，
也是不符合逻辑的。
试举一个简单的例子：
如果我们从“绝对0/绝对0＝任意值”，推导出可以有“1/2＝k＝绝对0/绝对0”，再推导出说必有“ 1＝绝对0　，2＝绝对0 ”。
这样的结果是不是很荒谬？这样的推导难道还符合逻辑吗？　

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[这个贴子最后由fm1134在 2009/01/29 06:22pm 第 1 次编辑]

下面引用由luyuanhong在 2009/01/29 11:47am 发表的内容：
楼主在第6楼中说：“如果 ΔXi≠绝对0 ，则还可以继续对 CD 进行更细的划分，直到 ΔXi＝绝对0 为止。”
“所以说，在2楼的图形中，随着划分无休止地更细地进行下去，ΔXi＝绝对0 是逻辑上的必然结果。”
我看不 ...

“大家都很清楚：一个不等于绝对的 0 的量，无论怎样细分，永远也不会等于绝对的 0 ，
只能成为一个非0无穷小量。”这是典型的想当然。您凭什么认定这种观点就一定是正确的
呢？
“还有，楼主从“绝对0/绝对0＝任意值”，推导出可以有“ dy/dx＝k＝绝对0/绝对0”，
再推导出“ dy＝绝对0　，dy＝绝对0 ”，也是不符合逻辑的。”请注意：我推导出dy＝绝
对0　，dy＝绝对0 ，并不是通过“绝对0/绝对0＝任意值→dy/dx＝k＝绝对0/绝对0→dy＝
绝对0　，dy＝绝对0”这样的逻辑关系得出结论的，而是通过“。。。随着划分无休止地更
细地进行下去，ΔXi＝绝对0 是逻辑上的必然结果。。。”这样一个简单的逻辑关系得出
的。
至于为什么说“。。在2楼的图形中，随着划分无休止地更细地进行下去，ΔXi＝绝对0 是
逻辑上的必然结果。。。”，因为这是符合极限定义的逻辑结果。当ΔXi＝绝对0时，划分
就达到一种极限状态的细致了，还有哪种分割方法能比ΔXi＝绝对0时还要更细致呢？所以
说，这时，划分就满足“无限细分”的要求了。这完全类似于切线A（B）的A、B两点完全重
合的情形。陆老师既然能够接受切线A（B）上的A、B两点完全重合的观点，为什么就不能接
受ΔXi＝绝对0的观点呢？两者其实完全是一个道理。只是由于习惯认识的束缚，不敢接受Δ
Xi＝绝对0的事实罢了。
这其实是一个纯粹的逻辑问题，只要静下心来仔细想一想，就不难理解了。

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[这个贴子最后由fm1134在 2009/01/29 09:01pm 第 1 次编辑]

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[这个贴子最后由fm1134在 2009/01/29 09:05pm 第 1 次编辑]