[原创]立体幻方

白新岭

[watermark]有对数字游戏感兴趣的数学爱好者请进，在小学就有把1，2，3，....9这9个自然数填入3*3的方格中，使横，竖，对角线上的3个数之和都相等。我在分析，计算m个自然数之和的分布时发现，把1，2，3，....27这27个自然数填入3*3*3的方体中，可使6个表面，6个对角面，3个中轴（即正方体的上，中，下3个面的中层；前，中，后3个面的中层；左，中，右3个面的中层）一共15个面，每个面中的9个数字之和也可以相等，而且只有一种填法（即不改变顺序，和相对位置，只要符合要求的填法，经过翻转，旋转（都以棱作轴）都能重合）。[/watermark]

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做玩具魔方的厂家有意用此幻方的，我愿免费提供数据。

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上层数字：             10     27     2
                     9       17     25
                   20       12     4
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中层数字：             5     13      21
                     22     14      6
                   7       15      23
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下层数字：           24      16      8
                    3       11     19
                   26      1      18
左中右的9个数字之和为126（每组9个，都在同一个面上）；前中后的9个数字之和为126；上中下的9个数字之和为126；（已列出在上面）。这样已有了9组数字，每组9个数字，之和都为126.另外6个对角面的9个数字和也是126.这样15组数字已全部列出。除此以外，用1至27之间的任意其他9个数之和不再有126的。

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最后一句错误，因为经分组后（1-27，2-26，......，13-15，14）从前13对中任选4对与14配合，是9个数字，之和为126。这样能有13*12*11*10/24=715组。再加上表面6组，最少方法为721组。如果把126拆成9个不同的自然数之和（不管顺序）共有845105组。这时用到最大的自然数90，与1+2+3+4+5+6+7+8的和为126。
谁能求出用1-27之内的9个数，使其和为126的组合数，或者求方程组的正整数解的组数。方程组为：x≤19，18≤x+y+z+c+d+f+g+h+j≤27，x+2y+3z+4c+5d+6f+7g+8h+9j=126。

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今天经分析得到，含14的9个自然数的和为126所有组合共有21773种（9个自然数中最大的不大于27）。计算式如下：
10+46+5*14表示法1*1=1
11+45+5*14表示法1*1=1
12+44+5*14表示法2*2=4
13+43+5*14表示法3*3=9
14+42+5*14表示法5*5=25
15+41+5*14表示法6*6=36
16+40+5*14表示法9*9=81
17+39+5*14表示法11*11=121
18+38+5*14表示法15*15=225
19+37+5*14表示法18*18=324
20+36+5*14表示法22*22=484
21+35+5*14表示法25*25=625
22+34+5*14表示法30*30=900
23+33+5*14表示法32*32=1024
24+32+5*14表示法36*36=1296
25+31+5*14表示法38*38=1444
26+30+5*14表示法41*41=1681
27+29+5*14表示法41*41=1681
28+28+5*14表示法43*43=1849
29+27+5*14表示法41*41=1681
30+26+5*14表示法41*41=1681
31+25+5*14表示法38*38=1444
32+24+5*14表示法36*36=1296
33+23+5*14表示法32*32=1024
34+22+5*14表示法30*30=900
35+21+5*14表示法25*25=625
36+20+5*14表示法22*22=484
37+19+5*14表示法18*18=324
38+18+5*14表示法15*15=225
39+17+5*14表示法11*11=121
40+16+5*14表示法9*9=81
41+15+5*14表示法6*6=36
42+14+5*14表示法5*5=25
43+13+5*14表示法3*3=9
44+12+5*14表示法2*2=4
45+11+5*14表示法1*1=1
46+10+5*14表示法1*1=1
求和715,715,21773

njzzyy

可以申请专利嘛

白新岭

多谢熊一兵先生的提醒。本幻方数据的获得的确花了我不少时间。专利没有想过。话说回来，不申请专利，却不能免费为魔方厂家提供数据。

白新岭

现在又计算出以13或15为中心的9个数之和为126的方法数目（这里的“中心”是指含13或15的组，切有4个数小于中心数，有4个数大于中心数，最大值不大于27）：
都是有18331种方法。

白新岭

当中间的数为12或16时（即9个数中，有4个小于中间数，有4个大于中间数时，用27以内的自然数）9个数字和为126的不同方法数目为：11072.
到此已经找出21773+2*18331+2*11072=80579种方法可以是9个数字和为126，并且在9个数字中最大的一个数不大于27.

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当以11或17为中间值时，用不大于27的9个数，使其和为126的方法各自有4860种组合。中心值从7到21可用，小于7或大于21时，不能用27以内的9个数的和得126.已分析了7种情况，还有8种情况（分别为中心值为10或18，9或19，8或20，7或21）
有兴趣的可以计算一种情况。