请教一个函数的性质

中国上海市

[这个贴子最后由中国上海市在 2009/02/16 10:58pm 第 1 次编辑]


有谁会?
???

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/02/17 00:03am 第 1 次编辑]

这个函数性质讨论如下：

中国上海市

谢谢！继续请教一下函数F(x)=lgf(x)的性质，包括其草图，其中f(x)即为上面的函数

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/02/19 03:21pm 第 3 次编辑]

对 F(x)=lnf(x) 的性质讨论如下：（原题写的是 F(x)=lgf(x)，它与 F(x)=lnf(x) 只相差一个常系数 ln10 ，对函数性质的讨论没有影响。）

中国上海市

谢谢陆教授的精彩解答！不过我尚存一问题，因为从函数的形式来看，F(X)=lnf(x)中的A与B的地位是相同的，α与β的地位也是相同的，但从x→+∞及x→-∞时分别求出来的渐近线方程来看，A与B的地位不同、α与β的地位也不同，其中A与α与x→-∞时有关，而B与β则与x→+∞时有关，这是为什么呢？

luyuanhong

下面引用由中国上海市在 2009/02/27 07:17pm 发表的内容：
谢谢陆教授的精彩解答！不过我尚存一问题，因为从函数的形式来看，F(X)=lnf(x)中的A与B的地位是相同的，α与β的地位也是相同的，但从x→+∞及x→-∞时分别求出来的渐近线方程来看，α与β的地位也不同，其中A与α与x→-∞时有关，而B与β则与x→+∞时有关，这是为什么呢？

在 F(x)=lnf(x) 中，的确 α 与 β 的地位是相同的，但它们的值总有一个大、一个小。
（假如 α＝β ，你的问题就太简单了，所以我想，肯定不会有 α＝β 。）
容易看出，x → -∞ 时的渐近线，与 α、β 两者中较大的一个有关；x → +∞ 时的渐近线，与 α、β 两者中较小的一个有关。
我为了叙述简单起见，给你的题目增添了一个条件 α＞β （请看我在第4楼中的帖子）。
因为我设了 α＞β ，所以，x → -∞ 时的渐近线就与 α 有关，x → +∞ 时的渐近线就与 β 有关了。

中国上海市

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/07 00:18am 第 2 次编辑]

对这两个函数的图像和性质讨论如下：

中国上海市

谢谢陆教授！中间那条绿色的直线y=lnB-βx表示什么？

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/04 09:26pm 第 1 次编辑]

没有什么，就是一条方程为 y=lnB-βx 的直线而已。
这条直线，不能称为“渐近线”。因为“渐近”是 x→±∞ 时曲线的性质。而事实上，当 x→±∞ 时，曲线远离直线 y=lnB-βx ，并不渐近于它。
从图像看，直线 y=lnB-βx 与当中一小段曲线比较接近。但是，这种情况并非总是会发生的。
如果实数 B 的值比较小，直线  y=lnB-βx 的位置会偏在下面，被直线 y=lnA-αx 和 y=lnC-γx 挡住，它就不可能接近曲线了。