证明：如果三角形两底角平分线相等，则此三角形必定是等腰三角形

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请教等腰三角形两底角角平分线相等逆定理的证明，我想了很久也没找到好方法。

如图：

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/03/15 07:09pm 第 1 次编辑]

下面是我的证明（先证明“如果不等腰则底角平分线不相等”，然后立即推出“如果底角平分线相等则必等腰”）：

luyuanhong

liangchuxu

重新推导一下，请陆老师指教。

liangchuxu

重新推导一下，请陆老师指教

天山草

以下文字摘自《几何瑰宝》上册第 269页.......。
       这是一道脍炙人口的几何名题。这一问题是由德国数学家雷米欧司（L.ehmus） 于1840年在给斯图姆（S.turm）的信中提出的。他说，几何题在没有证明以前，很难说它是难还是容易。等腰三角形两底角分角线相等，初中生都会证，可是反过来，已知三角形两内角平分线相等，要证它是等腰三角形却不容易。我至今还没有想出来。斯图姆向许多数学家提到了这件事，后来是瑞士几何学家施坦纳（Steiner）给出了一个最初的证明，所以这个定理就以施坦纳-雷米欧司定理而闻名于世。
       施坦纳出生于一个贫困的农民家庭，14 岁时还是一个文盲，后来半耕半读，22 岁考入德国海德堡大学，38 岁时成为柏林大学教授。
       施坦纳的证明发表后，引起数学界的极大反响。后来有一个数学刊物公开征求这一问题的证明，经过收集整理得出60多种证法，编成了一本书。
       到了 1940 年前后，有人用添圆弧的方法找到了一个最简单的间接证法。
       1980 年美国《数学教师》第12期介绍了这个定理的研究现状，结果收到两千多封来信，又增补了20多种证法，其中有一个是最简单的直接证法（即证法40）。从问题的提出，到这两个简捷证法的诞生，竟用了140年之久。可见在数学这个百花园里，几何确是一个绚丽多彩、引人入胜的花坛。那些耐人寻味、经久不衰的名题，经过几代数学家的努力，得出了一些发人深省的精妙解法，有的博大深远，有的精巧绝伦，使我们不得不为之惊叹！

       下面介绍那个最简单的证法（摘自《几何瑰宝》上册第 289页）：

在上图中，不妨设 ∠A≥∠B，在 OE 上取一点 M，使 ∠OAM = ∠OBD，连接 AM 交 CB 于 N，则 △AND∽△BNM，
因为 BM≤AD，所以 AN≥BN，即  ∠B≥ ∠OAM+ ∠A/2 = ∠B/2+∠A/2，即 ∠B≥∠A，前面已设 ∠A≥∠B，故 ∠A = ∠B。

luyuanhong

楼上 天山草 的帖子很好！已收藏。

liangchuxu

重新推了一遍，请陆老师指教！谢谢！

ccmmjj126

有一种题目被称为“日经题”，大概就是这种题目吧？
我在论坛上发表过不少这个题目的母题（就是条件要弱于这道题的）帖子。随便搜一下，找到两个，用它们都能显然推出主楼问题。这是我当年的研究专题吧！
http://www.mathchina.com/bbs/for ... hread&tid=18214
http://www.mathchina.com/bbs/for ... p;extra=&page=1

denglongshan

天山草 发表于 2023-8-27 00:18
以下文字摘自《几何瑰宝》上册第 269页.......。
       这是一道脍炙人口的几何名题。这一问题是由德国数 ...

如果外角平分线相等还是等腰三角形吗