[推荐]给民间数论爱好者介绍 Riemann 猜想

ccmmjj

我费了一番力气整理,每天贴一点.  
   Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢？ 在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数： Riemann ζ 函数。 这个函数虽然挂着 Riemann 的大名， 其实并不是 Riemann 首先提出的。 但 Riemann 虽然不是这一函数的提出者， 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解， 为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。 后人为了纪念 Riemann 的卓越贡献， 就用他的名字命名了这一函数。那么究竟什么是 Riemann ζ 函数呢？ Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数)
ζ(s) = Σn n-s    (Re(s) > 1)
在复平面上的解析延拓。运用路径积分， 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为：

式中的积分实际是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发， 沿实轴上方积分至原点附近， 环绕原点积分至实轴下方， 再沿实轴下方积分至 +∞ - 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分； 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的推广， 对于正整数 s>1： Γ(s)=(s-1)!。 可以证明， 这一积分表达式除了在 s=1 处有一个简单极点外在整个复平面上解析。 这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。
运用上面的积分表达式可以证明， Riemann ζ 函数满足以下代数关系式：
ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)
从这个关系式中不难发现， Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零.复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外， Riemann ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。 我们所要讨论的 Riemann 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想， 在这里我们先把它的内容表述一下，
Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。
数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为 critical line。 运用这一术语， Riemann 猜想也可以表述为： Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于 critical line 上。
这就是 Riemann 猜想的内容， 它是 Riemann 在 1859 年提出的。 从其表述上看， Riemann 猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题，  其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。
(待续)

tnjian

[这个贴子最后由tnjian在 2009/05/03 10:51pm 第 1 次编辑]

像这种比较艰深的问题，民间的数论爱好者，恐怕大部分人连题意都很难看懂。

wangyangke

[这个贴子最后由wangyangke在 2009/04/30 11:55am 第 1 次编辑]

1.ccmmjj讨论, 论 坛里有几位真正懂数学的？　划了一个小圈；圈内极小的一小撮（桌，酌）圈外是广大的人群，包含楼主的同胞亲人，朋友，楼主成才前的老师；
2，鄙，将楼主的懂数学的圈大大的扩大了；
3.还好，楼主在本大楼内，流出了善意；
4. tnjian ，-----------像这种问题，那些民间的数论爱好者，连题意都是看不懂的。他们只看得懂素数，合数和加减乘除等。--------------你所指，同样包含你的---------同胞亲人，朋友，楼主成才前的老师-----------你忍心无端的每每鄙视他们吗？
5.楼主的文章，鄙看不懂；但看热闹；也有些看不清楚；
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 wangyangke 在 时添加 -=-=-=-=-
http://www.changhai.org/articles/science/mathematics/riemann_hypothesis/index.php

申一言

[这个贴子最后由申一言在 2009/09/28 09:32pm 第 3 次编辑] 中华单位论证明了中华单位轴并间接的证明了黎曼猜想(5)的结论是正确的!(注意!不是函数结构正确!) 中华单位(素数)轴 Pn=X/2 * Y 7 ↑-2n * 2n ↑ 0-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10↓ ↑ 0-1-2-3-*-5-6-7-8 ↓ ↑ 0-1-2-3-4-5-6 ↓ ↑ 0-1-2-3-4 ↓-----→单位圆的外切正方形的1/2. ↑ 0-1-2 ↓ ------↑-----------0-----------↓→∞ X/2 X H(Mn)=π(Mn), H(Mn)是不定方程 Pn=Mn/2的解的个数,她等于任意偶数含有单位(素数)的个数,即中华单位轴上单位(素数)的个数符合中华单位个数定理! 美国数学家戴维斯说:",,,一旦证明了XXX,那么素数定理就成立了!" 因此《中华单位论》的单位个数定理是正确的! 中华单位轴是准确的! 看来黎曼大师把简单的数学问题搞复杂了! 因为关于素数的一些问题,只是正整数与正整数之间的关系; 即单位(素数)与合数之间的关系! 从算术几何来看只是以√P为正方形的面积(单位)与长方形(合数)之间的关系! 用黎蔓大师的解析方法永远得不到所有的非平凡的零点都落在 X/2处! 而中华单位论则不费吹灰之力就给予解决了! 因为 H(Mn)=π(Mn) 所以 不定方程 Pn=Mn/2的有理点都落在X/2上! X/2是中华单位轴! .>>>Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 取值为零 - 因为 sin(πs/2) 为零.复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单， 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外， Riemann ζ 函数还有许多其它零点， 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为非平凡零点 (non-trivial zeros) 。 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。 我们所要讨论的 Riemann 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想， 在这里我们先把它的内容表述一下， Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。<<< 由中华单位轴的结构图以及上述的分析可知: 中华单位轴的各项函数与黎曼猜想的函数(定义域)一样! 因此证明了中华轴就间接的证明了上述黎曼猜想! ****************************************************** 显然黎曼猜想得证,那么原素数定理正确!?或该猜想就成为素数定理了. 反之黎曼猜想没有得证,事实是根本不可能得证! 因为原素数定理是错误的! 因为欧拉恒等式是错误的! 因为"算术基本定理"不适用! 因为"大筛法"不适用! 因此数论,尤其是素数论就是目前这个不景气的样子! 门外汉: 申一言.

moranhuishou

下面引用由tnjian在 2009/04/30 00:56am 发表的内容：
像这种问题，那些民间的数论爱好者，连题意都是看不懂的。他们只看得懂素数，合数和加减乘除等。

不要以其昏昏使人昭昭，敢问：你自己真懂吗？

申一言

    看来神秘的乐曲并不神秘!
    只是错误的连续!
    "筛法"--欧拉恒等式---素数定理----黎曼猜想--费尔马大猜想的证明(维XX)!

ccmmjj

一个复数域上的函数 - Riemann ζ 函数 - 的非平凡零点 (在无歧义的情况下我们有时将简称其为零点) 的分布怎么会与风马牛不相及的自然数域中的素数分布产生关联呢？ 这还得从 Euler 乘积公式 谈起。
我们知道， 早在古希腊时期， Euclid 就用精彩的反证法证明了素数有无穷多个。 随着数论研究的深入， 人们很自然地对这些素数在自然数域上的分布产生了越来越浓厚的兴趣。 1737 年， 著名数学家 Leonhard Euler (1707-1783) 在圣彼得堡科学院 (St. Petersburg Academy) 发表了一个极为重要的公式， 为数学家们研究素数分布的规律奠定了基础。 这个公式就是 Euler 乘积公式：
Σ n^(-s) = Π(1-p^(-s))^(-1)
公式中左边的求和对所有的自然数进行， 右边的连乘积则对所有的素数进行。 可以 证明， 这个公式对所有 Re(s)>1 的复数 s 都成立。 这个公式的左边正是我们在 上文 中介绍过的 Riemann ζ 函数， 而右边则是一个纯粹有关素数 (且包含所有素数) 的表达式， 这样的形式正是 Riemann ζ 函数与素数分布之间存在关联的征兆。 那么这个公式究竟蕴涵着有关素数分布的什么样的信息呢？ Riemann ζ 函数的零点又是如何出现在这种关联之中的呢？  
Euler 本人率先对这个公式所蕴涵的信息进行了研究。 他注意到在 s=1 的时候， 公式的左边 Σ n^(-1) 是一个发散级数 (这是一个著名的发散级数， 称为调和级数)， 这个级数以对数方式发散。 这些对于 Euler 来说都是不陌生的。 为了处理公式右边的连乘积， 他对公式两边同时取了对数， 于是连乘积变成了求和， 由此他得到：
ln (Σ n^(-1)) = -Σ ln(1 - p^(-1)) = Σ(p^(-1) + p^(-2)/2 + p^(-3)/3 + ... ...)
由于上式右端括号中除第一项外所有其它各项的求和都收敛， 而且这些求和的结果累加在一起仍然收敛 (有兴趣的读者不妨自己证明一下)。 因此右边只有第一项的求和是发散的。 由此 Euler 得到了这样一个有趣的渐近表达式：
Σ p^(-1) ~ lnln(∞)
或者， 更确切地说：
Σ p^(-1) ~ lnln(N)
这个结果 - 即 Σ p^(-1) 以 lnln(N) 的方式发散 - 是继 Euclid 证明素数有无穷多个以来有关素数的又一个重要的研究结果。 它同时也是对素数有无穷多个这一命题的一种崭新的证明 (因为假如素数只有有限多个， 则求和就只有有限多项， 不可能发散)。 但 Euler 的这一新证明所包含的内容要远远多于 Euclid 的证明， 因为它表明素数不仅有无穷多个， 而且其分布要比许多同样也包含无穷多个元素的序列 - 比如 n2 序列 - 密集得多 (因为后者的倒数之和收敛)。 不仅如此， 如果我们进一步注意到上式的右端可以改写为一个积分表达式：
lnln(N) ~ ∫ x^(-1)ln-1(x) dx
而左端通过引进一个素数分布的密度函数 ρ(x) - 它给出在 x 附近单位区间内发现素数的几率 - 也可以改写为一个积分表达式：
Σ p^(-1) ~ ∫ x^(-1)ρ(x) dx
将这两个积分表达式进行比较， 不难猜测到素数的分布密度为 ρ(x)~1/ln(x)， 从而在 x 以内的素数个数 - 通常用 π(x) 表示 - 为：
π(x) ~ Li(x)
其中 Li(x) ≡ ∫ ln-1(x) dx 是对数积分函数,这正是著名的素数定理 (当然这种粗略的推理并不构成对素数定理的证明)。 因此 Euler 发现的这个结果可以说是一扇通向素数定理的暗门。 可惜 Euler 本人并没有沿着这样的思路走， 从而错过了这扇暗门， 数学家们提出素数定理的时间也因此而延后了几十年。
提出素数定理的荣誉最终落到了另外两位数学家的肩上： 他们是德国数学家 Friedrich Gauss (1777-1855) 和法国数学家 Adrien-Marie Legendre (1752-1833)。
无论 Gauss 还是 Legendre， 他们对于素数分布规律的研究都是以猜测的形式提出的 (Legendre 的研究带有一定的推理成份， 但离证明仍然相距甚远)。 因此确切地说， 素数定理在那时只是一个猜想 - 素数猜想， 我们所说的提出素数定理指的也只是提出素数猜想。 素数定理的数学证明直到一个世纪之后的 1896 年， 才由法国数学家 Jacques Hadamard (1865-1963) 与比利时数学家 Charles de la Vallée-Poussin (1866-1962) 彼此独立地给出。 他们的证明与 Riemann 猜想有着很深的渊源， 素数定理是简洁而优美的， 但它对于素数分布的描述仍然是比较粗略的， 它给出的只是素数分布的一个渐近形式 - 也就是当 N 趋于无穷时的分布形式。 从前面有关素数分布与素数定理的图示中我们也可以看到， π(x) 与 Li(x) 之间是有偏差的， 而且这种偏差的绝对值随着 x 的增加似有持续增加的趋势 (所幸的是， 这种偏差的增加与 π(x) 及 Li(x) 本身的增加相比仍是微不足道的 - 否则素数定理也就不成立了)那么有没有一个公式可以比素数定理更精确地描述素数的分布呢？ 这便是 Riemann 在 1859 年想要回答的问题。 那一年是 Gauss 去世后的第五年， 32 岁的 Riemann 继 Johann Dirichlet (1805-1859) 之后成为了 Gauss 在 G&ouml;ttingen 大学的继任者。 同年八月十一日， 他被选为柏林科学院 (Berlin Academy) 的通信院士 (Corresponding Member)。 作为对这一崇高荣誉的回报， Riemann 向柏林科学院提交了一篇论文。 这是一篇只有短短八页的论文， 标题是： 论小于给定数值的素数个数。 正是这篇论文将 Euler 乘积公式 蕴涵的信息破译得淋漓尽致， 也正是这篇论文将 Riemann ζ 函数的零点分布与素数的分布联系在了一起。
这篇论文注定要把人们对素数分布的研究推向壮丽的巅峰， 并为后世的数学家们留下一个魅力无穷的伟大谜团。

tnjian

[这个贴子最后由tnjian在 2009/04/30 01:03pm 第 2 次编辑]

下面引用由wangyangke在 2009/04/30 08:33am 发表的内容：
tnjian ，-----------像这种问题，那些民间的数论爱好者，连题意都是看不懂的。他们只看得懂素数，合数和加减乘除等。--------------你所指，同样包含你的---------同胞亲人，朋友，楼主成才前的老师-----------你忍心无端的每每鄙视他们吗？学的圈大大的扩大了；
3.还好，楼 ...

搞数学不是忍心不忍心，懂就懂，不懂就是不懂，我的同胞亲友不懂黎曼猜想，那有什么关系？
他们绝对不会像某些人那样，完全不懂，还在那里卖弄错误。
所以，我一点也不会鄙视他们，就像有其他领域我不懂而他们懂一样。
我鄙视的是论坛那些所谓的数论爱好者，那些不知以为知，胡搅蛮缠，扯淡的人。
除了加减乘除，让他们自己跳出来说说，还懂些什么？解析数论懂吗？
什么叫做爱好者？军事爱好者至少懂得很多军事知识，我见到一些电子爱好者都透彻理解模拟电子，数字电子，这个论坛上所谓的数学爱好者是群什么东西？
一句话，学识上，比大一数学系的学生差的远。人品上，比一个朴素的老百姓更差的远。每每以无耻耍赖为能事。我经常听到某些人的一些话“我的论文自从上网发表以来，历经论战，还没有被驳倒过"
真是恶心啊，我从来没听说过驴会学会弹琴，而且会认错说：“我不会弹琴”的。

moranhuishou

下面引用由tnjian在 2009/04/30 00:53pm 发表的内容：
他们绝对不会像某些人那样，完全不懂，还在那里卖弄错误。
...
我鄙视的是论坛那些所谓的数论爱好者，那些不知以为知，胡搅蛮缠，扯淡的人。
除了加减乘除，让他们自己跳出来说说，还懂些什么？解析数论懂吗？
...
这个论坛上所谓的数学爱好者是群什么东西？
...

  请问，你是个什么东西？

moranhuishou

下面引用由tnjian在 2009/04/30 00:53pm 发表的内容：
他们绝对不会像某些人那样，完全不懂，还在那里卖弄错误。
...
我鄙视的是论坛那些所谓的数论爱好者，那些不知以为知，胡搅蛮缠，扯淡的人。
除了加减乘除，让他们自己跳出来说说，还懂些什么？解析数论懂吗？
...
这个论坛上所谓的数学爱好者是群什么东西？

看得出，你不大像一个简单的”东西“，好像有那点什么“背景".那就请你把话说说清楚：
1 不要笼统地一稿子打翻一船人，要说清楚是谁“完全不懂，还在那里卖弄错误”
2 谁是“知以为知，胡搅蛮缠，扯淡的人。”
3 如果命题是1+1=？，我们用加减乘除计算有错吗？需要懂什么解析数论吗？
4 有理就站出来公开辩论。
4 有理就讲讲清楚，在背后骂骂咧咧信口雌黄是小人所为，那才是人品极差的人呢！