最短的证明有多短！？

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最短的证明有多短！？

作者 | 大小吴

你见过最短的数学证明有多短呢？一句话？一个字？

事实上，证明的最高境界就是“无字证明”。今天大小吴就给大家介绍8个非常有趣的无字证明！

1 几何级数公式

我们就从大学数学分析中的一个几何级数公式开始：

其实这就是无穷递缩等比数列 {xn} 的无穷项和。

当然，我们还有另外一种完全不同的图形证明方法，对于任意一个0到1的实数，我们都可以用一连串的梯形来构 xn ，如下图所示:

想必大家能够发现，通过两个阴影部分三角形相似，便可证明。我们来详细解释一下。


在 BC 上选择一点 E ，使得 EC=x ，通过如动图构造得到线段 FR 因为梯形 ABCD 与梯形 ERFC 相似，有 AD/EC=EC/RF ，即 1/x=x/RF 。因此得到 RF=x^2 。


同理可构造得到梯形 ERFC 与梯形 UYFR，由相似得 UY=x^3 。



原式得证！

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2 分数不等式证明

想必大家都知道一个有趣的数学事实就是，如果两个分数的分子分母都是正数，则把它们的分子加在一起，分母加在一起，得到的新分数的大小一定介于两个分数之间。

为了证明这件事，我们构造下图:

我们可以发现三条线段的斜率正好对应了三个分数的大小，从图中我们便可轻松看出它们的大小。即

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3 两角和的正切公式

在高中我们学过两角和的正切公式：

这个公式是怎么来的呢？我们假定 α、β 已知（α、β 都为锐角）。

为了证明这个公式，我们构造一个边长为1的矩形，并且把 α、β 都“塞入”其中：

最终得到这样一个图形


证明完毕！

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4 反正切恒等式

在反三角函数中，有一个很有趣的恒等式：

这是为什么呢？我们可以作小方格图形进行说明：

图中有三种不同颜色的三角形，其包含的角分别对应了 arctan1、arctan2、arctan3 。很显然它们拼在一起是一个平角，原恒等式得证！

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5 自然数的三次幂和

如何求自然数的三次幂和呢？

如果我们把 1^3,2^3,3^3,…,n^3 看成是由 n^3 个小正方体积木拼成的边长为 n 的大正方体的话，我们就可以对它们进行一系列的拆分，如下图所示：

最终，我们可以把原来的几何体重组成一个边长为 1+2+3+…+n 的正方形，内含有小正方体积木的个数是自然数一次幂和的平方，因此三次幂和公式就呼之欲出了：

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6 神奇的可乐罐

把可乐易拉罐摆成边长为的正六边形，需要多少瓶可乐？这个结果是

用比较数学的语言说，即第个六边形形数为 hn=n^3-(n-1)^3 ，为什么呢？看下图就一目了然！

把可乐罐的摆放看成是空间中的摆放，第 n 个六边形形数为 hn ，即为大正方体中格子的数量减去小正方个体中格子的数量。

其实，有时我们只要跳出思维的限制，问题就迎刃而解了。

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7 神奇的菱形

下图是由一个个小三角形组成的正六边形棋盘，现在请你用右边的三种（仅朝向不同的）菱形把整个棋盘全部摆满（图中只摆了其中一部分）。

现在要证明这样一个命题：

当你摆满整个棋盘后，你所使用的每种菱形数量一定相同。

这看似是一个很复杂的组合数学问题，不知该从何下手。还记得可乐易拉罐问题吗？这里也有类似的思路！试试看能不能从空间的角度来思考？来看看下面这个酷炫的证明方法：

把每种菱形都涂上一种颜色，每种颜色都对应了先前菱形三种类型之一。整个画面看上去就像一个个小正方体在墙角堆叠起来的样子，那么无论是哪种菱形的数量都应该是这个特殊的几何体在任意一个面投影的小正方形数量，都为 4^2=16 个，问题又一次通过二维向三维的“升级”而变得简单！

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8 n 个自然数之和

这是我们本期选取的最有趣的证明。来源于数学问答网站MathOverflow上曾经有人提问征集最漂亮的图形证明，得票最多的则是如下这个证明：

为了证明这个公式，我们构造下图:

我们可以发现，对第一行到第行中，选取任意一个白球，按照图示的路径都唯一的对应了第行的2个黑球，这2个黑球的组合是唯一的。也就是说，所有的白球都唯一对应第行中的个黑球中的某2个，并且这2个黑球的组合各不相同。因此，前项和公式得证。等差数列前项和与排列组合联系在了一起，不得不感叹数学的神奇！

部分资料来源于网络

参考文献

[1]顾森.思考的乐趣——Matrix67数学笔记[M].人民邮电出版社，2012.

王守恩

谢谢陆老师！藉几何级数公式，可以有。