不等式 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2] 成立等号的充要条件是什么？

永远

陆老师好，小手处为啥是：ac+bd≤0，为什么不能≥0

永远

难道小手处是多余的，有没有都成立吗，这样，百度百科岂不是错的，要修改

永远

这两个等式都成立吗

luyuanhong

不等式 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2] 成立等号的充要条件中，

楼上帖子中 “ ac+bd≤0 ” 这个条件不是必要的。

举一个简单的例子：

设 a=3 ，b=4，c=6，d=8，这时 ac+bd = 3×6+4×8 = 50＞0 ，不满足 “ ac+bd≤0 ” 这个条件。

但是，  

  √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2) = √(3^2+4^2)+√(6^2+8^2) = 5+10 = 15 ，

  √[(a+c)^2+(b+d)^2] = √[(3+6)^2+(4+8)^2] = √(81+144) = √225 = 15 。

显然 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2) = √[(a+c)^2+(b+d)^2] 等号成立。

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-26 18:43
不等式 √(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2] 成立等号的充要条件只是 ad=bc 。

楼上帖子中 “ ...

陆老师好，你怎么知道，前后两个根号中小括号内消掉x值时，整体取得最小值？？？？
依据是啥

永远

为啥改成5-x，老师说消掉x，原因是啥，为什么消掉x时取得最小值？

波斯猫猫

永远 发表于 2020-2-24 16:48
还有就是：我现在不理解为什么柯西不等式三角形式证明过程中，ac+bd≤0，为什么不能≥0

百度百科有猫病。

永远

波斯猫猫 发表于 2020-2-26 19:51
永远 发表于 2020-2-24 16:48
还有就是：我现在不理解为什么柯西不等式三角形式证明过程中，ac+bd≤0，为 ...

为啥改成5-x，老师说消掉x，原因是啥，为什么消掉x时取得最小值？

luyuanhong

永远 发表于 2020-2-26 18:36
这两个等式都成立吗

这两个不等式都是成立的：

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2] ，

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 。

不仅如此，还成立不等式：

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b-d)^2] ，

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a-c)^2+(b+d)^2] 。

永远

luyuanhong 发表于 2020-2-26 21:21
这两个不等式都是成立的：

√(a^2+b^2)+√(c^2+d^2)≥√[(a+c)^2+(b+d)^2] ，

看看5楼，
为啥改成5-x，老师说消掉x，原因是啥，为什么消掉x时取得最小值？