无穷二字的意义与性质、

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必须知道“无穷是无有穷尽、无有终了、无有最后，无穷集合具有无法被人们构造完成（或完毕）了”的事实。十九世纪康托尔提出的“无穷集合是完成了的整体的实无穷，数学必须肯定实无穷”的观点违背上述事实。所以必须改革现行无穷集合理论，
例一：元素个数逐渐增多的以有限自然数集合为项的如下三个无穷序列：{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},……     （1）
{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
的趋向性极限都是包含所有自然数的自然数集合 N={0，1，2，3，……，n,n+1,……}。它们的元素个数分别是{n+1}、{10n}、{ }，其广义极限都是非正常实数+∞； 所以自然数集合 N={0，1，2，3，……，n,n+1,……} 叫做非正常集合。
例二，无尽小数0.333…… 是1被3除 除不尽得到的 以十进小数为项的 无穷数列0.3，0.33，0.333，……简写，他的极限才是 1/3, 但它本身永远不等于1/3。

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现行数学理论无法解决的五个问题是：
⑴ 物体按照瞬时速度运动的时段长是不是0呢？
这个问题就是第二次数学危机中自变量微分是不是0呢？的问题， 笔者认为自变数x的微分dx是以0+为极限的任意正足够小变数的辩证数的意见；并提出：变数的极限值是变数的达不到的趋向性理想实数的意见，dx→0或, dt→0的极限值0，是变数达不到的极限值，根据“0与非足够小之间的相互依存的对立统一关系”。就可以说：理想的没有长度的时刻可以用测不准的足够小替换：即理想时刻t可以是用数字描述现实数量大小时，可以忽略不计的足够小；自变量的微分dx是辩证数，它不是0而是足够小正数，因此它可以作除数；对 计算出来的商式中的足够小dx可以是：忽略不计的足够小。 因此，把这个商式中的dx取极限变为0（或者趋向于0），得到导数f’(x)的运算具有性质：根据极限值是数列达不到的趋向性质；求导计算只是一种忽略足够小的近似计算。使用极限方法得到的瞬时速度代表的是：任意足够小时段上的物体运动速度的足够准近似值。原函数存在定理不需要使用繁琐黎曼定积分过程去证明，而只要使用现实数量函数的导数概念就可以了。
⑵无穷集合的元素个数是不是无穷基数？
笔者认为：所有无穷集合都具有如下的对立统一两个方面。即：①一方面，无穷集合的元素个数都依赖于它们的通项构造法则，它们的元素个数都是无限增长着的趋向性极限性质的、想象性质的非正常实数+∞，所以它们也因此，才可以叫做无穷集合。②另一方面，无穷集合都具有“在任何有限时间内，都延续不到底的性质”。所以，任何无穷集合都不是“构造完成了的实无穷”意义的无穷集合。无穷集合的上述两个性质，是相互依赖的，事实上，它的无穷性依赖于不可完成的性质，如果完成了就不会是无穷的；反过来，不可完成性也依赖于无穷性，如果是有穷的，那么就可以完成了。两个性质之间是相互斗争的，各有各的用处；分工合作才构成有用而正确的无穷集合理论。事实上，根据不可完成性，无穷集合的元素个数就不是定数，就不能提出康托儿的无穷序数与无穷基数理论；这样一来，康托儿提出的“连续统假设的大难题”就不存在了。根据无穷性，无穷集合的元素个数是无穷多的，依照习惯，理想自然数集合可以记作N，它可以满足生产实际的需要；还可以指出：理想自然数集合中的元素，都是可以写出的有限自然数；《非标准分析》中提出的大于N中所有自然数的无穷大自然数不存在，实践是检验真理的唯一标准，非标准分析中的那种无穷大自然数没有必要性。笔者的这种无穷集合理论是对立统一法则下的唯物辩证法、辩证逻辑性质的无穷集合理论。
⑶无尽小数是不是实数？
笔者认为：所有无尽小数都是理想实数的针对误差界序列 算出的不足近似值无穷数列的简写，它的趋向性极限才是理想实数。但它本身不是定数，而是变数。而且对无理数的这种无穷数列是永远算不到底的，对除不尽的有理数虽然它的这种数列具有循环性，但具有永远写不到底的性质，所以需要使用有尽位十进小数近似表示这两种理想实数。理想与现实、精确与近似之间具有相互依存分工合作的对立统一关系。这样一来，布劳维尔提出的三分律反例就被消除了。
⑷点的大小是不是0呢？
笔者提出了：只有位置而没有大小的点，叫做理想点；理想点具有无法被点出的性质；相距0.001毫米的两个理想点是无法画出来的；能画出的表示理想点位置的有大小的点叫做现实性质的近似点；随着误差界序列  逐渐减小的表示一个理想点的近似点序列叫做全能近似点列；全能近似点列的极限（即趋向）是理想点。“任何线段只能由现时的有大小的近似点构成而不是由没有大小的理想点构成”。这样一来，分球奇论就不存在了，。芝诺的飞矢不动悖论也不存在了。这个定义中的近似点还反映了测量、绘图工作的实际情况。由于测量过程中移动米尺时的、米尺端点只能用近似点标出，所以线段长度具有测不准性质。
⑸ 数学公理、法则的能不能应用的问题
笔者认为数学理论中公理与法则的应用都需要接受实践检验。例如应用Zorn 引理（等价于选择公理）证明了整序定理：任何集合∑均可排成一个整序集”，但事实上，有理数集合与实数集合都无有极小元素，按照整序集的定义都不是整序集，Cohen模型出来后的集合理论中，也有实数集是不可整序的集合的论述。数学理论中反证法中用的很多，康托儿用反证法得到一百多年无法解决的连续统假设大难题；布劳维尔使用排中律得出了实数集合的三分律反例，至今无法解决。欧几里得平行线公理与罗巴切夫斯基平行线公理的争论的实质是绝对准难做到的精确与近似相互依存、相互斗争的对立统一两个方面。为此笔者提出形式逻辑法则不是建立不了完备而又无矛盾的数学理论。唯物辩证法才是建立数学理论的根本方法。  
对于这五个问题，笔者于在中国科技论文在线上 发表了如下五篇论文：2019年九月16日发表的论文“数学理论体系改革绪论”、10月8日发表的论文 “测度、数轴概念与几何基础问题”、10月25日发表的论文“实数集合中近似单包及其应用”。11月11日发表的论文“一个值得研究的数列极限计算问题”、 12月20日发表的论文“无穷集合的性质与概率论基础”。

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现行数学理论无法解决的五个问题是：
⑴ 物体按照瞬时速度运动的时段长是不是0呢？
这个问题就是第二次数学危机中自变量微分是不是0呢？的问题， 笔者认为自变数x的微分dx是以0+为极限的任意正足够小变数的辩证数的意见；并提出：变数的极限值是变数的达不到的趋向性理想实数的意见，dx→0或, dt→0的极限值0，是变数达不到的极限值，根据“0与非足够小之间的相互依存的对立统一关系”。就可以说：理想的没有长度的时刻可以用测不准的足够小替换：即理想时刻t可以是用数字描述现实数量大小时，可以忽略不计的足够小；自变量的微分dx是辩证数，它不是0而是足够小正数，因此它可以作除数；对 计算出来的商式中的足够小dx可以是：忽略不计的足够小。 因此，把这个商式中的dx取极限变为0（或者趋向于0），得到导数f’(x)的运算具有性质：根据极限值是数列达不到的趋向性质；求导计算只是一种忽略足够小的近似计算。使用极限方法得到的瞬时速度代表的是：任意足够小时段上的物体运动速度的足够准近似值。原函数存在定理不需要使用繁琐黎曼定积分过程去证明，而只要使用现实数量函数的导数概念就可以了。
⑵无穷集合的元素个数是不是无穷基数？
笔者认为：所有无穷集合都具有如下的对立统一两个方面。即：①一方面，无穷集合的元素个数都依赖于它们的通项构造法则，它们的元素个数都是无限增长着的趋向性极限性质的、想象性质的非正常实数+∞，所以它们也因此，才可以叫做无穷集合。②另一方面，无穷集合都具有“在任何有限时间内，都延续不到底的性质”。所以，任何无穷集合都不是“构造完成了的实无穷”意义的无穷集合。无穷集合的上述两个性质，是相互依赖的，事实上，它的无穷性依赖于不可完成的性质，如果完成了就不会是无穷的；反过来，不可完成性也依赖于无穷性，如果是有穷的，那么就可以完成了。两个性质之间是相互斗争的，各有各的用处；分工合作才构成有用而正确的无穷集合理论。事实上，根据不可完成性，无穷集合的元素个数就不是定数，就不能提出康托儿的无穷序数与无穷基数理论；这样一来，康托儿提出的“连续统假设的大难题”就不存在了。根据无穷性，无穷集合的元素个数是无穷多的，依照习惯，理想自然数集合可以记作N，它可以满足生产实际的需要；还可以指出：理想自然数集合中的元素，都是可以写出的有限自然数；《非标准分析》中提出的大于N中所有自然数的无穷大自然数不存在，实践是检验真理的唯一标准，非标准分析中的那种无穷大自然数没有必要性。笔者的这种无穷集合理论是对立统一法则下的唯物辩证法、辩证逻辑性质的无穷集合理论。
⑶无尽小数是不是实数？
笔者认为：所有无尽小数都是理想实数的针对误差界序列 算出的不足近似值无穷数列的简写，它的趋向性极限才是理想实数。但它本身不是定数，而是变数。而且对无理数的这种无穷数列是永远算不到底的，对除不尽的有理数虽然它的这种数列具有循环性，但具有永远写不到底的性质，所以需要使用有尽位十进小数近似表示这两种理想实数。理想与现实、精确与近似之间具有相互依存分工合作的对立统一关系。这样一来，布劳维尔提出的三分律反例就被消除了。
⑷点的大小是不是0呢？
笔者提出了：只有位置而没有大小的点，叫做理想点；理想点具有无法被点出的性质；相距0.001毫米的两个理想点是无法画出来的；能画出的表示理想点位置的有大小的点叫做现实性质的近似点；随着误差界序列  逐渐减小的表示一个理想点的近似点序列叫做全能近似点列；全能近似点列的极限（即趋向）是理想点。“任何线段只能由现时的有大小的近似点构成而不是由没有大小的理想点构成”。这样一来，分球奇论就不存在了，。芝诺的飞矢不动悖论也不存在了。这个定义中的近似点还反映了测量、绘图工作的实际情况。由于测量过程中移动米尺时的、米尺端点只能用近似点标出，所以线段长度具有测不准性质。
⑸ 数学公理、法则的能不能应用的问题
笔者认为数学理论中公理与法则的应用都需要接受实践检验。例如应用Zorn 引理（等价于选择公理）证明了整序定理：任何集合∑均可排成一个整序集”，但事实上，有理数集合与实数集合都无有极小元素，按照整序集的定义都不是整序集，Cohen模型出来后的集合理论中，也有实数集是不可整序的集合的论述。数学理论中反证法中用的很多，康托儿用反证法得到一百多年无法解决的连续统假设大难题；布劳维尔使用排中律得出了实数集合的三分律反例，至今无法解决。欧几里得平行线公理与罗巴切夫斯基平行线公理的争论的实质是绝对准难做到的精确与近似相互依存、相互斗争的对立统一两个方面。为此笔者提出形式逻辑法则不是建立不了完备而又无矛盾的数学理论。唯物辩证法才是建立数学理论的根本方法。  
对于这五个问题，笔者于在中国科技论文在线上 发表了如下五篇论文：2019年九月16日发表的论文“数学理论体系改革绪论”、10月8日发表的论文 “测度、数轴概念与几何基础问题”、10月25日发表的论文“实数集合中近似单包及其应用”。11月11日发表的论文“一个值得研究的数列极限计算问题”、 12月20日发表的论文“无穷集合的性质与概率论基础”。