求平面上一点 A(m,n) 关于直线 y=kx+b 的对称点的坐标

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/06/29 00:53am 第 1 次编辑]

这是一个初中生向我提出的问题，这个问题可以解答如下：

gaocd

早就盼望陆教授的解答了，顶！

Denglongshan

假设复数形式的线性方程z=kz';+b表示一条直线，这里k是共轭比，复平面上一点 Z0关于这条直线的对称点的复数表达式要简单得多。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 Denglongshan 在 时添加 -=-=-=-=-
设Z0关于这条直线的对称点是Z1，所以这条直线的共轭比是-k，它的方程是：
z-z0=-k(z';-z0';)
它们的交点就是垂足P,容易求出
p=(kz0';+b+z0)/2
因为P是Z0和Z1的中点，所以2p=z0+z1,z1=2p-z0=kz0';+b;
这些公式比坐标更简洁，不过已经超过初中数学范围了，高中生可以掌握。

gaocd

下面引用由denglongshan在 2009/07/01 07:07pm 发表的内容：
假设复数形式的线性方程z=kz';+b表示一条直线，这里k是共轭比，复平面上一点 Z0关于这条直线的对称点的复数表达式要简单得多。-=-=-=-=- 以下内容由 Denglongshan 在  时添加 -=-=-=-=-
设Z0关于这条直线的　...

复数有好多优点，处理一个量就可以了（z和z';可视为一个量）。
共轭比目前还没深入人心，推广起来需要时日。

Denglongshan

请问：如何才能深入人心，难题已经证明了不少。如果是有影响的数学家发现，可能早就流行了。“人微言轻”是真理呵！

wangyangke

luyuanhong 老师的解答是否在初中范限内，不知是否有其他适于初中的解，

drc2000

教授辛苦了。
我发现直线若用一般式L：f(x,y)=Ax+By+C=0，则最后结论更漂亮些：
设μ=a^2+b^2，则(a,b)关于L的对称点为：
（a-2Af（a,b）/μ，b-2Bf（a,b）/μ）