[推荐]2009国家队讨论题

denglongshan

设O点是△ABC的内接正三角形DEF的中心，P点是△ABC的九点圆心。
求证：OP与△ABC的Euler线相互垂直的充要条件是：△ABC的某一内角等于60°

Denglongshan

高手们不愿意试试吗？

denglongshan

ccmmjj老师看看

ccmmjj

这么看得起我，那么我周末试试。

ccmmjj126

不用等到周末，我今天早上在去上班的路上，脑袋打个转，证明就出来了。没有我一看到题目时想象的难度，晚上找个时间贴出来。我在东方论坛上看到了这个题目帖的残渣，是那几何专家老封的讨论帖，奇怪的证明一大堆。楼主大概是那个时候转贴的吧，连标题也一模一样。放了10年还挖出来，可见用情之深。

denglongshan

您大约是中学数学教师？说不定还教几何。
经你这么一说，还真可能是那时候从东方论坛转过来，它的确是几何爱好者的好地方，在那里认识了老封专家。不过，很遗憾，我没有找到那片帖子。放了10年还挖出来，倒不是用情很深，是浏览自己的主贴，发现没有解答。又发现主贴““官科”失误的确凿证据！”有自己上传的附件，忘了内容，下载后才发现是二十多年前数学所的回信，后来想了解“共轭比”概念传播情况，百度搜索无意中发现E书联盟网站已经挂上去很久时间，居然还可以认领，想试一下，于是昨天按照提示把多年以前科学院数学所回信的扫描图片作证据提交，想不到还通过了，不过不想牟利，需要的网友可以在我的主贴中寻找，也可以发站内信索取。

denglongshan

人生有很多遗憾，也许当年选择数学会比现在站得高许多。关于常数共轭导数的问题，不理解E老师的解答。

denglongshan

还发现另外一条与欧拉线有关的定理，这里没有解答，东方论坛有，由于不能转发链接，现把东方论坛高手的解答转过来。
I是△ABC的内心，各条内角平分线与各边交于D、E和F，H1是△DEF的垂心，则IH1与△ABC的Euler直线平行。
作者izzystar：
三线坐标易算.
在三角形ABC中, 记u=cos(A), v=cos(B), w=cos(C), 则外心O的三线坐标为
O=(u,v,w),
垂心H的三线坐标为H=(1/u, 1/v, 1/w).
因而Euler线的三线坐标为(v/w-w/v, w/u-u/w, u/v-v/u), 也可写为
( (v-w)*(v+w)u,  (w-u)*(w+u)v, (u-v)*(u+v)w ).
现在, 令g=[[1,-w,-v], [-w,1,-u], [-v,-u,1]]为度量矩阵. 由于
D=(0,1,1),  E=(1,0,1),  F=(1,1,0),
所以直线EF的坐标为d=(-1, 1, 1), 这样, 垂直于EF方向的无穷远点坐标为
g*d = (-1-w-v, w+1-u, v-u+1).
由此可得, 过D所作的EF的垂线坐标为 ( v-w, -1-w-v, 1+w+v).
同理, 过E所作的DF的垂线坐标为 (1+w+u, w-u, -1-w-u).
于是可求得H1的坐标为 (s+u-2vw, s+v-2wu, s+w-2uv), 其中s=1+u+v+w+2*(vw+wu+uv).
最后, 就得到直线IH1的坐标为 ( (v-w)*(1+2u),  (w-u)*(1+2v), (u-v)*(1+2w) ).
要证明Euler线与IH1平行, 只需证明它们的交点在无穷远直线上. 而易算得交点坐标为
( u-2vw, v-2wu, w-2uv ),
从而不难看出, 这个交点在无穷远直线上.
注: 无穷远直线的三线坐标为(sin(A), sin(B), sin(C)).
                                 发表于 2010/10/24 12:41:25
鸟人枭獍：
这个问题以前在“奥数之家”论坛讨论过，可用如下两个引理来证：
引理一：如图，内心I关于△ABC边的对称点为J、K、L，P是AJ、BK、CL的交点，△DEF是I关于△ABC的Ceva三角形，H'是△DEF的垂心，则H'、I、P共线。
引理二：如图(1)，内心I关于△ABC边的对称点为J、K、L，P是AJ、BK、CL的交点，则IP//△ABC的Euler Line.

纯几何证明：（跨步证明，具体细节请自己添加或思考）

证明引理一，如上图一，S=AD∩EF，ST⊥BC，U=DH'∩EF，W=BC∩EF，下面说明T在AP上，U、I、T共线。
首先易得AJ、BK、CL共点于P；且由调和点列ASID、BDCW知TS平分∠ATI，故T在AP上，且∠DAW=90，
于是DTSU、ASTW、AUDW均共圆，所以∠STU=∠SDU=∠SWA=∠STA=∠STI，故U、I、T共线。
同理，R在CP上，V、I、R共线；因此有AD、BE、CF、TU、RV均过点I，所以由笛沙格定理得：
EF与BC、DF与AC、DE与AB、DU与AT、FV与CR的5个交点在同一直线上，故△ACP与△DFH'透视，即H'、I、P共线。
注：P是△JKL九点圆圆心的等角共轭点。
引理一证毕！

证明引理二，如上图二中的(1)，作圆I(JKL)，过J、K、L的圆I的切线交于A1、B1、C1，则△A1B1C1与△ABC关于点I位似(2:1)，
D=IB1∩LJ，E=IC1∩KJ，作反演变换g(I，IK2，)，B->B'，K->K，C->C'，L->L，P->P'，则显然D、E是IB'、IC'中点，
作B'Y⊥IB，C'X⊥IC，则：(P'，I)=圆(IKYB')∩圆(ILXC')，因此XY⊥IP.
如右图，将△A1B1C1拉出来，OH是其欧拉线(Euler Line)，H是垂心，对应垂足为A''、B''、C''，M=A'B'∩A1B1，N=A'C'∩A1C1，则由根轴得MN⊥OH，令∠B1A1C1-∠A1C1B1=α，∠B1A1C1-∠A1B1C1=β，则由正弦定理得A1M:A1N=sinα:sinβ.
如图(1)，I'=IL∩B'Y，I''=IK∩C'X，则显然L、K是II'、II''中点，所以A1I'=A1I=A1I''，且：
∠A1I'B'=90-β/2，∠A1I''C'=90-α/2，∠A1YI'=α/2，∠A1XI''=β/2，因此由正弦定理得：
A1X:A1Y=sinα:sinβ，而A1M:A1N=sinα:sinβ，所以XY//MN，所以IP//OH，进而IP//△ABC的Euler Line.
引理二证毕！
发表于 2010/10/24 12:41:25
我在3-4L的方法很难，是借用了两个看似无关且难度很大的引理来证的，不够直接，这里我用另一种相对来说较为直接、初中的方法来证（依然用到两个引理）：
先对原题进行一般化叙述：
如图(1)，△ABC的某3条角平分线交于一点I，且分别与对边交于D、E、F，H是△DEF的垂心，求证：IH//△ABC的Euler Line.
给出如下两个引理：
引理一：如图(2)，内切圆⊙I切△ABC于D、E、F，J=IB∩AC，L=IC∩AB，N是△DEF的九点圆圆心，求证：DN⊥JL.
当然，其实这里完全不需要用到这个引理，因为这个引理包含于如下引理中：“一个三角形的垂足的联线与对应边的交点的联线垂直于该三角形的欧拉线（Euler Line）”。即引理一中的JL垂直于某一三角形的欧拉线（Euler Line）。但我之所以要用图(2)来作为引理一，就是从另一种角度来说明JL的方向。
引理二：如图(3)、(4)，OH是△ABC的Euler Line，H是垂心，N是九点圆圆心，△DEF是△ABC的垂足三角形，作垂直于OH的直线分别交AC、BC于P、Q，再作PX//AN，QX//BN，求证：CX//△DEF的Euler Line.
这两个引理中，引理一有点意思，相对于3L的两个引理要简单得多，引理二看似很难，不平凡，但实际上却能用简单的初中方法来证明，故整个证明过程可看成是较为初中的方法。
因此由引理一及引理二得：IH'//△ABC的欧拉线(Euler Line)。 Q.E.D.
这两个引理（结论）的证明以前一直都懒得写，这次就证明在这里了。
                             2010/11/01 01:56:24

ccmmjj

你的共轭比理论我早见识过了，大概是复数表示向量的算法一种，当时我就觉得没有错误的问题，只是把几何算术程式化，不是我喜欢的那一种而已。
老封的论坛已经没什么人气了。那个圈子只是一些特殊癖好的人组成的，共点共线是他们的主要方向。来我们论坛的有一名叫“高操蛋”的水平不错，我怀疑他是名女孩，因为在东方论坛有位网名“girl0532”的风格一看就是他，可惜也看不到人了。其中有一位叫“天下无毒史”也精绝，他的那套复数对合理论和你的那套向量商、共轭比理论非常相似，如果不是你和他解决的问题类型大不相同，我还以为是同一个人在不同的论坛上忽悠网友呢！
至于鄙人，教书匠一名，教过不同层次的学生，中专教过，大专教过，中学教过，小学也教过。官科见识过、民科也见识过，其实都不过如此。数学者，虽偏好简单的几何，却不是专教几何的。

denglongshan

谢谢老师答复，他的复数对合理论没看懂，怎么会说忽悠？都是在解决实际问题。