为什么点的长度为0，而线段的长度不为0?

tnjian

[这个贴子最后由tnjian在 2009/07/16 03:47pm 第 6 次编辑]

为什么线段的测度不等于简单地把点的测度加在一起呢？
这是个有趣的问题，但是其实是个语言滥用的问题。
如果我们仔细检查作为勒贝格测度基础的那三条公理，
第一，空集的测度是零
第二，若干个（至多可数无穷个）彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和
第三，数轴上a点到b点的线段（这是直线的一个子集）对应的测度应当等于b-a
我们会发现关于第一条和第三条并没有什么可多说的，可是第二条——至多可数个彼此不相交的子集的并集的测度等于这些子集各自测度之和——却多少让人心生疑惑。这句话读起来总是有点别扭。
如果我们把它换成“有限个彼此不相交的子集的并集的测度，等于这些子集各自测度之和”，听起来就会舒服多了，可是这里做了某种推广，从有限到无限，而且还不是任意无限个而是“至多可数无穷”个，这是为什么呢？
首先，这种推广是必须的：只对有限个的子集定义测度的可加性，这样得出来的测度会不满足人们的需要，——不仅仅是给长度一个精确定义的需要。测度论不只是为哲学家发明的，它要在数学的其他领域里以及别的自然科学领域里得到应用，而在这些场合里，我们时刻会碰到对无穷个集合的并集的测度的计算。我们必须在定义里就保证测度能够无穷相加。
可是另一方面，为什么又偏偏要限制可数无穷个集合才有可加性呢？
事实上，我们很容易就会发现，正是这一点促成了前面那个问题的出现：为什么线段具有长度？如果我们假设任意无穷个彼此不相交的子集的并集的测度等于这些子集各自测度之和，那么，既然线段是由无穷个点构成的而点又没有长度，那线段也应该没有长度才对。难道这一条是专门为了避免这个悖论才设置的么？
不是。我们很快就能看到，这种对于可数性的限制，有着更为本质的原因存在。
首先，让我们想想看把很多数相加是什么意思。我们一开始学到的加法是针对两个数而言的，给定任意两个数，我们能够算出它们的和。进而，我们把这一过程推广到了三个数求和：先对其中两者求和，然后再把这个和同第三者相加。依此类推，我们可以把四个数相加，把五个数相加……
请注意，这里的过程完全是递归的（inductively）：只有定义了n个数的和，我们才能够继而定义n+1个数的和。然后，这样一直进行下去，我们就能够对任意有限多个数求和。——只是“任意有限”，还不是“无限”。
从有限到无限这一步跨越其实走得颇为艰难。哲学家也好别的领域的科学家也好常常随心所欲的使用数学词汇而并不特别在意自己是否真的明了它们的严格意义，可是数学家却不能如此自由。真正把无穷个数加起来，也就是数学中所谓的“级数”（series），这套理论的严密化在数学史上经历了相当长的一段时间。最终，借助于极限理论的帮助，真正严格的关于级数求和的理论才得以建立。——也就是说，事实上，什么样的无穷级数可以相加，什么时候不能相加，相加的时候要注意什么问题，这一切都受到了理论的约束。在这些理论的基础上，我们才能够确定当我们随口说出“把这无穷个数加在一起”的时候，我们确实知道我们在说什么。
什么是级数呢？级数就是把有限个自然数相加的自然推广：既然定义了n个数的和我们就能够进而定义n+1个数的和，那么，把这个过程递归地进行下去，我们就能够对任意有限多个数求和。当有无穷个数需要我们求和的时候，我们就只对它们中的前N个求和，并且让这个N不断变大，如果这一过程有极限，这个极限就被我们称为这个无穷数的和。
请注意上面这段话背后的涵义：当我们说“对无穷个数求和”的时候，我们其实潜在地要求了这些数的总个数必须能够通过n->n+1->n+2……这样的过程来逼近，然后通过极限的方式定义它们的和。这也就是说，这些数的总个数必须是可数个！
让我们回忆一下什么是“可数个”：“可数个”就是能够和自然数集建立起一一对应的那么多个，用更直观的语言来说，“可数个”就是“可以一个一个数下去”的那么多个。只有一个集合里包含可数个元素的时候，我们才能够对于它应用数学归纳法，因为数学归纳法的本质就是“一个一个数下去”：当一件事对n成立时，我们进而要求它对n+1成立，这样的过程进行下去的极限，就是可数无穷。
那么，既然多个数的加法本质上是个递归过程，——只有先把n个数加起来，我们才能进而加上第n+1个数，——[color=#A52A2A]所以加法至多能对“可数无穷”个数来定义（也就是级数加法）。把“不可数无穷个”数加在一起，这件事情是毫无意义的！
这正是前面所有那些所谓哲学悖论的根源：当人们想当然的说着“把无穷个点的测度加在一起”的时候，他们以为他们是在说一件自然而然的事情，可是事实上，除非这无穷个点是可数个，否则这里的加法根本无法进行。不幸的是，任何线段都偏偏是由不可数个点构成的（它们是连续统）。
为什么线段是由点构成的，而线段的测度却不等于组成它的那些点的测度之和？因为“组成它的那些点的测度之和”这个短语根本没有意义，所以两者也不必相等。
这个回答也许有些出人意料，可是事情就是如此。很多问题之所以令人迷惑，不是因为它们真的是什么悖论，而只是因为问题本身没有被恰当的叙述。人们常常自以为是的使用很多词汇却罔顾自己是不是了解它们的真实含义，譬如说“求和”。人们随心所欲地说“把若干个数加在一起”却忘了其实不可能真的把它们“一下子”加在一起，加法是个递归过程，这就决定了如果要加的东西的个数太多（不可数那么多），它们就加不起来了。

也许哲学家还会追问：既然线段的测度不是组成它的那些点的测度之和，那么这个测度是从哪里来的呢？
它们不是哪里来的……它们是线段自己所固有的。这就是为什么我们在定义长度的时候非要加上第三条公理的原因：我们必须在定义里就写明线段的测度，否则就没有办法建立起直线的所有可测子集的测度的架构。事实上，既然点的长度是零，根据可数可加性我们很容易推出一切可数集的长度也都是零，所以在某种意义上说来，“长度” 是本质上只属于连续统的一种性质。换句话说，只有进入了连续统的范畴，不为零的长度才可能出现。这就是为什么我们不能从单点集出发定义长度的原因。

ygq的马甲

实际上就是【离散】与【连续】之间的区别[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在 时添加 -=-=-=-=-

如果我们仔细检查关于勒贝格测度的那三条公理，
第一，空集的测度是零
第二，若干个（但是至多可数无穷个）彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和
第三，数轴上a点到b点的线段（这是直线的一个子集）对应的测度应当等于b-a

这里的“第二”就是【离散】，这里的“第三”就是【连续】

fleurly

下面引用由ygq的马甲在 2009/07/16 11:55am 发表的内容：
实际上就是【离散】与【连续】之间的区别

比较赞成这个观点

申一言

下面引用由ygq的马甲在 2009/07/16 11:55am 发表的内容：
实际上就是【离散】与【连续】之间的区别-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 在  时添加 -=-=-=-=-
这里的“第二”就是【离散】，这里的“第三”就是【连续】

   啊哈?!
     连"数"都不懂!
     还【离散】，【连续】哪?
     竟然有人还臭味相投?!
     要注意!
     点就是点;(零单位)
     线就是线,(单位)
     再短的线,  1/n,n→∞,也是线段!
     再大的点,只要认为不为零(单位!)那已经不是点了;已经是宇宙了!
唉! 你们受毒太深了!
    可惜呀!
    你们不坚持"真理"不就白学了吗?
    咬牙也得坚持呀!?
    必须坚持!
    哪怕百年之后当白痴---本人也不知道了!
    是吧?
                        难得糊涂!
                        更难的是必须装糊涂!!

tnjian

[这个贴子最后由tnjian在 2009/07/16 03:25pm 第 1 次编辑]

下面引用由申一言在 2009/07/16 03:15pm 发表的内容：
  啊哈?!
    连"数"都不懂!
    还【离散】，【连续】哪?
    竟然有人还臭味相投?!
...

西方的数理逻辑，就是从询问
“什么是数”开始正式发源的。
哲学家弗雷格写了《算术基础》一书，通过严密的分析，给“数”以及个别的数，比如“数7",等下了一个定义。
罗素在此基础上，发现该定义是非直谓的，对该定义进行了改造。
参见罗素的《数理哲学导论》
不过，罗素等人的定义偏重于哲学方面。
更方便应用的数的定义，出现在公理集合论ZFC中。
简单的说，“数”通过递归来定义。
0定义为空集
1定义为{0}
2定义为{0，1}
3定义为{0,1,2,}
4定义为{0,1,2,3}
.................

以上，就是现代数学中，自然数的定义。[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 tnjian 在 时添加 -=-=-=-=-
集论中的自然数包括了0和正整数

ygq的马甲

下面引用由申一言在 2009/07/16 03:15pm 发表的内容：
   啊哈?!
     连"数"都不懂!
     还【离散】，【连续】哪?
     竟然有人还臭味相投?!
...

【鉴定】和【评估】结论是：“无知者无畏”式的“蠢货”（申一言）
搞什么“轮子”功夫嘛，因为“蠢货”（申一言）你的“圆”与地球人的是不一样的
“蠢货”（申一言）你的那种什么"数"需要懂吗 ？？？回答是“不需要”

申一言

下面引用由tnjian在 2009/07/16 03:25pm 发表的内容：
西方的数理逻辑，就是从询问
“什么是数”开始正式发源的。
哲学家弗雷格写了《算术基础》一书，通过严密的分析，给“数”以及个别的数，比如“数7",等下了一个定义。
罗素在此基础上，发现该定义是非直谓　...

       您好!
            自然数=正整数吗?
            在[0,1]区间,实数是由点确定的?还是由线段确定的?(两点!)
                   感谢您认真的批评指教!

                                                   谢谢!

申一言

   楼主您提出的问题很好!很有意义!
       如果说 "为什么点的单位为0,而线段的单位不为0?"
       似乎更容易理解一些?
       因为空间量,点,线,面,体在纯粹数学中没有大小(对于本身)!
       当确定了单位圆的半径r=1(没有长度单位,mm,cm,m,km,,,)
                        则 R=2r=2
                           h=√2r=√2
                           *
                           *
                           *
                        当r=n=1,2,3,,,,
                      则R=2,4,6,,,,,
                        h=√2,2√2,3√2,,,,
    事实是 R/r≡2
           h/r≡√2
           π=C/R≡3+√2/10
             *
             *
             *
  因此纯粹数学只是空间量与空间量之间的结构关系或比例关系!
       X^2+Y^2=Z^2,(X=3k,Y=4k,Z=5k)
其中K是实数,可以消掉!
       但是勾股定理不变!-----即结构关系不变!
                               您说是吧?

ygq的马甲

下面引用由申一言在 2009/07/16 04:04pm 发表的内容：
   楼主您提出的问题很好!很有意义!
       如果说 "为什么点的单位为0,而线段的单位不为0?"
       似乎更容易理解一些?
       因为空间量,点,线,面,体在纯粹数学中没有大小(对于本身)!
...

【鉴定】和【评估】结论是：“无知者无畏”式的“蠢货”（申一言）
搞什么“轮子”功夫嘛，因为“蠢货”（申一言）你的“圆”与地球人的是不一样的

申一言

下面引用由ygq的马甲在 2009/07/16 04:21pm 发表的内容：
【鉴定】和【评估】结论是：“无知者无畏”式的“蠢货”（申一言）
搞什么“轮子”功夫嘛，因为“蠢货”（申一言）你的“圆”与地球人的是不一样的

    唉!
       你连数是什么都不懂!
       还自做多情那?
       还是搞你那鬼画符去吧!
       也许那个鬼能赏你几吊钱?