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对于集合的表达方式，夏道行《实变函数与泛函分析》[11]书中第一页讲到集合的表达式 ，但没有讲到这种表达式的不足之处，事实上张锦文在文献[10]中讲道：这种集合表示方法是概括原则，“使用概括原则要有限制，否则会出毛病[10]”，会出现罗素悖论与康托儿悖论。为了解决这两个悖论，文献[10]介绍了使用ZFC形式语言公理体系可以消除这两个悖论[10]。但这个公理体系中的无穷集合存在公理，没有讲道“无穷集合是无法构造完毕”的性质，所以这个公理体系在集合的研究中，仍然存在着连续统假设等许多无法解决的问题。为此笔者使用唯物辩证法研究了改写了无穷集合理论。首先需要根据实践提出自然数集合的实践性构造方法。这个构造需要从有穷自然数集合出发，所以笔者首先以上述基本定理为指导，先举 一个例子。根据古代人们建立的自然数记数法则出元素个数逐渐增多的以有限自然数集合为项的如下三个无穷序列：{0，1}，{0，1，2}，……，{0，1，2，……，n},…… （1）
{0，1，2，……，9}，{0，1，2，……，19}，……，{0，1，2，……，10n-1}, ……(2)
{0，1}，{0，1，2，3，4},……，{0，1，2，……， },……（3）
这三个序列都是以有限自然数集合为项的无穷序列，其趋向都是包含所有自然数的无穷集合N={0，1，2，3，……，n,n+1,……}。根据上述基本定理，这个趋向性极限集合具有其元素写不完毕的性质，所以只能认为这个趋向性集合为广义极限性质的想象性质的理想集合；这三个集合序列的集合通项的元素个数分别为{n+1}、{10n}、{ n^2+1}，其广义极限都是非正常实数+∞； 根据∞/∞,不定式定值法，这三个+∞ 表示的多少是不相同的，但也可以说：这个不同只是趋向于+∞的快慢不同；对于+∞这个符号，应当知道：它既可以被看作是大于一切有限数的数，又可以被看作不是正常数，因为它不能表示任何正常的、现实的已经构造完成了的集合的元素个数。所以应当提出：这种无穷集合是趋向性广义极限性质的、无法被人们构造完成或完毕的非正常集合。为此，提出如下的无穷自然数集合定义与说明。
定义2：类似于集合序列（1）（2）（3）的广义极限集合为包含所有自然数的非正常性质的自然数的无穷集合N={0，1，2，3，……，n,n+1,……}。
需要说明的是：这个集合是具有想象性质的、趋向性质的广义极限性质的非正常集合。特别是：根据毛泽东的《实践论》与《矛盾论》对无穷集合需要提出：所有无穷集合都具有如下的对立统一两个方面。即：①一方面，无穷集合的元素个数都依赖于它们的通项构造法则，它们的元素个数都是无限增长着的趋向性极限性质的、想象性质的非正常实数+∞，它们也因此，才可以叫做无穷集合。②另一方面，无穷集合都具有“在任何有限时间内，都延续不到底的性质”。所以，任何无穷集合都不是“已经构造完成了的实无穷”意义的无穷集合。无穷集合的上述两个性质，是相互依赖的，事实上，它的无穷性依赖于不可完成的性质，如果完成了就不会是无穷的；反过来，不可完成性也依赖于无穷性，如果是有穷的，那么就可以完成了。两个性质之间是相互斗争的，各有各的用处；分工合作才构成有用而正确的无穷集合理论。事实上，根据不可完成性，无穷集合的元素个数就不是定数，就不能提出康托儿的无穷序数与无穷基数理论；这样一来，康托儿提出的“连续统假设的大难题”[10]就不存在了。根据无穷性，无穷集合的元素个数是无穷多的，依照习惯，理想自然数集合可以记作N，它可以满足生产实际的需要；依据定理1.1，还可以指出：理想自然数集合中的元素，都是可以写出的有限自然数；《非标准分析》中提出的大于N中所有自然数的无穷大自然数不存在，实践是检验真理的唯一标准，非标准分析中的那种无穷大自然数没有必要性；根据下文的论述，《非标准分析》无法解决他建立这个理论的 “解决的第二次数学危机”的目的。笔者的这种无穷集合理论是对立统一法则下的唯物辩证法、辩证逻辑性质的无穷集合理论。
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发表于 2020-3-18 15:31
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