求所有的正整数 n ，使得 5(2020^n+4)/4×5(2020^n-4)/4 可以写成 5 个连续整数的乘积

Lucyding

以下的式子可以写成五个整数的乘积，请求出满足条件的所有n的值（n为正整数）

谢谢！！！

luyuanhong

题  求所有的正整数 n ，使得 5(2020^n+4)/4×5(2020^n-4)/4 可以写成 5 个连续整数的乘积。

解  5(2020^n+4)/4×5(2020^n-4)/4 = 25(2020^n/4+1)(2020^n/4-1) 。

    如果 n＞1 ，则 2020^n/4 必定是一个偶数，于是 2020^n/4+1 和 2020^n-1 必定都是奇数，

25(2020^n/4+1)(2020^n/4-1) 是 3 个奇数的乘积，必定也是一个奇数，这样，它就不可能表示

成 5 个连续整数的乘积，因为 5 个连续整数中，至少要有 2 个偶数，5 个数的乘积必定是偶数。

    这样，唯一可能的正整数，只有 n = 1 。

    当 n = 1 时，有

    25(2020/4+1)(2020/4-1) = 25×506×504 = 25×(22×23)×(21×24) = 21×22×23×24×25 。

    恰好是 5 个连续整数的乘积。

Lucyding

luyuanhong 发表于 2020-3-22 00:38
题  求所有的正整数 n ，使得 5(2020^n+4)/4×5(2020^n-4)/4 可以写成 5 个连续整数的乘积。

解  5(2020 ...

非常感谢！！！