关于两相邻素数最大相隔问题

大傻8888888

     处理两相邻素数最大相隔问题，必须限定在某个数以内。如果不加限定，则两相邻素数最大相隔为无限大。现在我们限定一个数，求小于等于这个数内两相邻素数的最大相隔，设这个数开平方的最大素数是Pn，小于Pn的最大素数是Pm，则两相邻素数最大相隔应为2Pm。原因如下：考虑这样一个数列（-Pm-1）......-4,-3,-2,-1，0，1，2，3，4，......Pm-1。假设这个数列中的正整数中的素数都是这个素数的倍数，0的位置上为2*3*5*7*11......*p即除去Pn和Pm外小于这个数开平方所有素数的积。1 和-1的位置分别是Pn和Pm的倍数，则-Pm和Pm位置上必定是素数，所以这两个素数最大相隔为2Pm。例如113和127之间的间隔就等于14（其中127开平方后最大素数是11，小于11的最大素数是7），也就是小于等于127的两相邻素数最大相隔为14。同样小于等于120的两相邻素数最大相隔为10，也就是说小于等于120的数中每9个连续数中必有一个数是素数。

moranhuishou

不大于x的最大的素数间隔应该小于(lnx)^2 即有 p_(n+1)-p_n<(lnx)^2

moranhuishou

下面引用由wangyangke在 2009/08/02 01:16am 发表的内容：
鄙已证：
   
     1，相邻两素数的最大间距小于3.4lnx；即相邻两素数的平均间距在1.64~1.7lnx,相邻两素数的最大间距小于平均间距的2倍；
     
...

直觉：
恐怕这个结论是错误的。
首先，不大于x的相邻两素数的平均间距就是lnx(据素数定理)。最大间距不可能仅仅小于其两倍的，这应该是可以找到反例的。
再检查一下你的证明。

大傻8888888

     两相邻素数最小相隔为2即孪生素数，而孪生素数L（n）的个数可以用以下式子表示：L（n）~(n/2)(3-2)(5-2)…(p-2)/3*5*…*p,（ｐ为不超过√n的奇质数）,从这个式子可以看出n越大，孪生素数也越多。
     根据两相邻素数最大相隔方法可以求出任意数以下两相邻素数的最大相隔。如小于25的两相邻素数最大相隔为4，小于49的两相邻素数最大相隔为6，小于121的两相邻素数最大相隔为10，小于169的两相邻素数最大相隔为14，小于289的两相邻素数最大相隔为22等等。随着自然数的增大，两相邻素数最大相隔的实际值可能小于理论值。具体原因在这里就不探讨了。

moranhuishou

这应该是正确的，但
这个结果属于“一只犬一定比跳蚤大，，，”的结论。
我们应该给出的是尽可能小的结果。

moranhuishou

下面引用由wangyangke在 2009/08/02 02:10pm 发表的内容：
-----------------再检查一下你的证明。---------------------等待师长们检查，鄙检查不出来，，，

单独贴出来吧。

moranhuishou

没注意，在哪里呀,给个连接

moranhuishou

下面引用由wangyangke在 2009/08/02 04:18pm 发表的内容：
哈，，，算啦，，，，

？？？

大傻8888888

下面引用由moranhuishou在 2009/08/02 09:42am 发表的内容： 这应该是正确的，但 这个结果属于“一只犬一定比跳蚤大，，，”的结论。 我们应该给出的是尽可能小的结果。

我认为2Pm已经算是比较小的结果了。因为我们可以考虑两相邻素数最大相隔至少为多少，设大于Pn的第一个素数为Pa，则自然数列为1，2，3，4....Pm....Pn....Pa,假如1的位置是素数，别的素数（除Pa外）都是素数的倍数，则Pa的位置一定是素数，这两个素数之间的间隔为Pa-1，所以两相邻素数最大相隔至少为Pa-1。而2Pm和Pa-1相比不属于“一只犬一定比跳蚤大，，，”，不过是属于藏獒和京巴之比罢了。 另外wangyangke先生已经把自己的帖子删除了，就不要再追问了。 还有不大于x的最大的素数间隔应该小于(lnx)^2，即有 p_(n+1)-p_n<(lnx)^2 怎么证明？还望不吝赐教！

moranhuishou

下面引用由大傻8888888在 2009/08/02 09:15pm 发表的内容：
    我认为2Pm已经算是比较小的结果了。因为我们可以考虑两相邻素数最大相隔至少为多少，设大于Pn的第一个素数为Pa，则自然数列为1，2，3，4....Pm....Pn....Pa,假如1的位置是素数，别的素数（除Pa外）都是素数　...

你的证明没有看懂，例如：
“别的素数（除Pa外）都是素数的倍数”
就不明白是什么意思？
还有，你的这个结果也表述的不太清楚，好像是不大于p^2的最大素数间隔小于p-1,但从你举的例子来看，又大于这个数，例如你说“小于169的两相邻素数最大相隔为14，小于289的两相邻素数最大相隔为22等等”。
即使这样，这个间隔已经很大了，例如x=100亿，按着个计算最大间隔约为10万，而实际上这时的最大间隔也就几百，相对误差还是相当大的。所以，我说这样的结果太弱。
而(lnx)^2就比这个要强很多。
不过这个结果至今并没有被证明。
另外，这个结果也许仍然不是最佳结果。