射线的长度会缩短吗？

一线天

将一条射线按照单位距离1分成无穷多的小段，我们知道，这条射线的长度是无限的。
现在，将这条射线上每一个单位距离的小段都缩短一半（将单位1缩短至0.5），请问，这条射线的长度会缩短吗？
呵呵，看来这又是一个无法回答的问题。
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“数学家”们似乎是刻意的抛开了有限与无限之间的辩证关系，认为二者之间没有必然的联系。

elimqiu

当然不会改变什么了： ∞/2 = ∞ [br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
其实无限在这个水平已经被无数聪明的脑袋思辨了两三百年了。还劝各位好好看看书。不难达到事半功倍的效果。

一线天

那么请问：当射线上每一段的单位距离都缩短至无穷小时，那么这条射线的长度有变化吗？
也就是问：无穷大/无穷小＝？

elimqiu

下面引用由一线天在 2009/08/21 11:10am 发表的内容：
那么请问：当射线上每一段的单位距离都缩短至无穷小时，那么这条射线的长度有变化吗？
也就是问：无穷大/无穷小＝？

无穷大/无穷小＝无穷大 (注意无穷小不是0)
再提一下，这些东西还是很标准的“广义实数系算术”及其极限推广。
姑且用∞，0 分别表示无穷大量和无穷小量，用b表示任意常（实）数，a表示常（实）数, a > 0,
则  a·∞ = ∞, ∞ + b = ∞, 0/∞=0, a/0 = ∞, ∞/0 = ∞,|∞|^a = |∞|  等等
但  0·∞，∞/∞， 0/0, ∞^0 等为不定式。
几乎任何一本数学分析的书都会对此有全面的介绍。
[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 elimqiu 在 时添加 -=-=-=-=-
实数系具有‘阿基米德’性：
任给 M, a> 0, 存在n 使得 n a > M
注意这里的 a 可以非常小，M可以非常大。

elimqiu

下面引用由一线天在 2009/08/21 10:12am 发表的内容：
　...“数学家”们似乎是刻意的抛开了有限与无限之间的辩证关系，认为二者之间没有必然的联系。

这样的话除了说明你没有学过高等数学以外，没有其他真理性。

HXW-L

下面引用由一线天在 2009/08/21 11:10am 发表的内容：
那么请问：当射线上每一段的单位距离都缩短至无穷小时，那么这条射线的长度有变化吗？
也就是问：无穷大/无穷小＝？

你能够将射线上每一段的单位距离都缩短至无穷小吗？

一线天

先回答一下6楼的问题：我当然不能将射线上每一段的单位距离都缩短至无穷小，但是，在逻辑上，“似乎”可以。 再来回答一下elimqiu 朋友的问题：无穷大/无穷小＝无穷大 ，这个结论，我“似乎”是不太认同。 这个问题就如同说是：无穷小+无穷小+无穷小+无穷小.......（无穷个无穷小相加）得数是多少？ elimqiu先生的回答是：无穷大。 但我不认为这个得数是无穷大。 理由如下： 我们来比较一下两个数：A和B的大小： A＝无穷小+无穷小+无穷小+无穷小+无穷小........ B＝0.1+0.01+0.001+0.0001+0.00001+......... （前面A的得数就如同是射线的每一个单位长度都缩短至无穷小，然后相加的结果） B的结果我们可以计算出来，它的得数是0.11111111.........（有限值） 如果按照elimqiu先生的说法，A的数值是无穷大，则必有A>B 但真实的结果必会是A 无穷小， 0.01> 无穷小， 0.001>无穷小，0.0001>无穷小....... 所以最后的结果必然是B>A， 因为B的数值有限，所以A不会是无穷大。 所以A必然是一个有限值。

一线天

下面引用由elimqiu在 2009/08/21 03:24am 发表的内容：
其实无限在这个水平已经被无数聪明的脑袋思辨了两三百年了。还劝各位好好看看书。不难达到事半功倍的效果。

无限的问题，即使是再被无数聪明的脑袋思辩三千年，也依然是争论不休。
先生，您认可吗？

elimqiu

下面引用由一线天在 2009/08/21 07:55pm 发表的内容：
无限的问题，即使是再被无数聪明的脑袋思辩三千年，也依然是争论不休。
先生，您认可吗？

争论不休也不在这个水平上。闭门造车的谈不上聪明：至少要知道别人有些什么结果么。

elimqiu

下面引用由一线天在 2009/08/21 01:34pm 发表的内容：
再来回答一下elimqiu 朋友的问题：无穷大/无穷小＝无穷大 ，这个结论，我“似乎”是不太认同。...

1/无穷小 = 无穷大, 所以你的 无穷大/无穷小 其实是 ∞·∞ 这当然还是无穷大。你的具体论述一定有概念不一致的地方。
实数系的阿基米德性说白了就是不管你取多小的单位，其适当的倍数还是可以大过任何给定的有限量。具体到射线，由于有一个方向无端点，任何单位的任何倍都只对应一个有限线段的长度，所以射线的长度对应的永远是单位的无限倍，即无限大。单位再小也无关紧要。