数列的初始值问题

elimqiu · 发表于 2009-8-28 00:55

题目本身还是很容易表达的：
设 0< X1 < 1, X(n+1) = Xn(Xn + 1/n), n = 1,2,...
（1）有没有这样的X1使得 Xn < X(n+1) < 1 对任意n成立？
（2）如果有，如何找出这样的X1 ？
[（1）属于奥数（2）是跟进，我没有（2）的答案]

luyuanhong · 发表于 2009-8-28 12:26

用计算机程序可以求得 X1=0.4465349172642294688… 。

elimqiu · 发表于 2009-8-28 13:42

是啊。我用python 写的‘凑数’程序算的结果是：
X1 = 0.4465349172642294750718...
由于X1的唯一性，任何非精确解都很快让Xn‘出格’
有它的解析表达/幂级数表达就好了

luyuanhong · 发表于 2009-8-28 16:11

X1 的存在性可以证明如下，但是看来，无法用一个解析式或一个级数表达式，将 X1 的值精确地表达出来：

elimqiu · 发表于 2009-8-28 21:40

X1 的存在性证得好。难度很大。我们再来看看唯一性。易见 Xn(x) 是正系数的多项式，所以其导函数是增函数，所以Xn(x)是凸函数。于是当 0 < x < b_n 时,令 t=x/b_n 有 Xn(x) = Xn ((1-t)0+tb_n) <= tXn(b_n)=t=x/b_n 故 Xn(a_n) <= a_n / b_n 即 (1-1/n)b_n <= a_n, b_n - a_n <= b_n / n <= b_1/n = 1/n 所以 {b_n - a_n} 的极限为0.这说明 {[a_n, b_n]} 只有一个公共点。 X1 的存在唯一性是有了。但它是有理数还是无理数？或者超越数？还不知道。若能找到一个数列{An}逼近它，而An又有通项解析表达，进一步的探索就方便些。

jzkyllcjl · 发表于 2009-8-31 15:56

如果能把序列{an}或{bn}的具体表达式写出来也不错！

elimqiu · 发表于 2009-8-31 23:14

下面引用由jzkyllcjl在 2009/08/31 03:56pm 发表的内容：
如果能把序列{an}或{bn}的具体表达式写出来也不错！

bn 作为 Xn(x)=1 的唯一正根可以归结为 X_(n-1) (x) = (-1+√(1+4(n-1)^2))/(2(n-1))
的惟一正根。依此类推不难知道 bn 是可以用根式求出的。但是所涉求根运算的次数随n增加而增加。所以{bn}本身不宜。需要的是有简单通式的{Bn}使得 {Bn-bn} 趋于0

申一言 · 发表于 2009-8-31 23:40

好玩!
好难!

jzkyllcjl · 发表于 2009-9-3 16:46

X1=limbn

jzkyllcjl · 发表于 2009-9-3 20:59

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