[求助]关于线性空间的几个问题

fleurly · 发表于 2009-8-31 08:37

1。看到书上在证明普通线性空间(Normed Linear Space)空间的完备性(Complete)的时候,需要讨论它的一个Cauchy列，却没有证明Cauchy列的存在。有一个问题：普通线性空间肯定存在Cauchy列吗？
2. Riesz-Fischer 定理：
如果(fn)是Lp(X)的一个Cauchy列，则存在 f属于Lp(X), 和(fn)的一个子列(fnk)使得：
(1) (n趋于无穷大) lim ||f - fn || p = 0 (p是下标， ||*||p指的是Lp(X)上的norm)
(2) fnk 在X上几乎处处收敛于f。 (k趋于无穷大)
问题： Cauchy列不都是收敛的吗？为什么不直接写fn 收敛于f, 却写 fn的子列收敛于f.

wanwna · 发表于 2009-8-31 09:51

[这个贴子最后由wanwna在 2009/08/31 10:01am 第 1 次编辑]

Cauchy列一定存在，比如常数列
收敛列一定是Cauchy列;
但Cauchy列等价于收敛列是对于完备空间来说的,在非完备空间里,存在Cauchy列不是收敛列.
不要把数学分析上的一切都原封不动的搬到泛函上来,泛函是扩展

fleurly · 发表于 2009-8-31 10:35

能给出一个例子吗？
Cauchy列不收敛的例子？

wanwna · 发表于 2009-8-31 10:46

比如有理数下的Cauchy列,不一定收敛

fleurly · 发表于 2009-8-31 10:52

这个是收敛，但是极限不在这个集合中吧
那有没有根本就不收敛的？

wanwna · 发表于 2009-8-31 10:55

收敛就是有极限,一个意思.
收敛如同Cauchy准则,也是对于范数来说的.
对于有理数来说,整个空间就这么多,不存在所谓的实数,所以也就找不到一个极限,让它满足收敛

fleurly · 发表于 2009-8-31 11:10

那是不是可以这么说：
任意一个空间T, 总可以构造一个完备空间S, 使得T是S的子集，并且S是完备的。

wanwna · 发表于 2009-8-31 11:12

下面引用由fleurly在 2009/08/31 11:10am 发表的内容：
那是不是可以这么说：
任意一个空间T, 总可以构造一个完备空间S, 使得T是S的子集，并且S是完备的。

我不知道.
但如果是,一定是一定理,查查教材找找看

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