[转载] 质数定理的作用

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素数定理
　　定理描述素数素数的大致分布情况。 素数的出现规律一直困惑著数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。 :\pi(x)\approx\frac 其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋近1（注：该结果为高斯所发现）。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。 下面是对π(x)更好的估计： :\pi(x)= (x) + O \left(x e^\right)，当 x 趋近∞。 其中 (x) = \int_2^x \frac，而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。 下表比较了π(x)，x/ln x和Li(x)： x π(x) π(x) - x/ln(x) Li(x) - π(x) x/π(x)
　　（如图所示）
素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计： :p(n)\sim n\ln\,n. 它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。 这定理的式子於1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家哈达玛(Jacques Hadamard)和比利时数学家普森(Charles Jean de la Vallée-Poussin)先後独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。 因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为 : \pi(x) = (x) + O\left(\sqrt x \ln\,x\right) 至於大O项的常数则还未知道。

素数定理
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素数定理描述素数的大致分布情况。
素数的出现规律一直困惑着数学家。一个个地看，素数在正整数中的出现没有什么规律。可是总体地看，素数的个数竟然有规可循。对正实数x，定义π(x)为不大于x的素数个数。数学家找到了一些函数来估计π(x)的增长。以下是第一个这样的估计。
其中ln x为x的自然对数。上式的意思是当x趋近∞，π(x) 和x/ln x的比趋近1。但这不表示它们的数值随着x增大而接近。
下面是对π(x)更好的估计：
，当 x 趋近∞。
其中（对数积分），而关系式右边第二项是误差估计，详见大O符号。
下表比较了π(x)，x/ln x和Li(x)：
xπ(x)π(x) - x/ln(x)Li(x) - π(x)x/π(x)
10140 22.500
102253 54.000
10316823 105.952
1041,229143 178.137
1059,592906 3810.430
10678,4986,116 13012.740
107664,57944,159 33915.050
1085,761,455332,774 75417.360
10950,847,5342,592,592 1,70119.670
1010455,052,51120,758,029 3,10421.980
10114,118,054,813169,923,159 11,58824.280
101237,607,912,0181,416,705,193 38,26326.590
1013346,065,536,83911,992,858,452 108,97128.900
10143,204,941,750,802102,838,308,636 314,89031.200
101529,844,570,422,669891,604,962,452 1,052,61933.510
1016279,238,341,033,9257,804,289,844,392 3,214,63235.810
4 •10161,075,292,778,753,15028,929,900,579,949 5,538,86137.200
素数定理可以给出第n个素数p(n)的渐近估计：
它也给出从整数中抽到素数的概率。从不大于n的自然数随机选一个，它是素数的概率大约是1/ln n。
这定理的式子于1798年法国数学家勒让德提出。1896年法国数学家雅克•阿达马和比利时数学家Charles Jean de la Vallée-Poussin先后独立给出证明。证明用到了复分析，尤其是黎曼ζ函数。
因为黎曼ζ函数与π(x)关系密切，关于黎曼ζ函数的黎曼猜想对数论很重要。一旦猜想获证，便能大大改进素数定理误差的估计。1901年瑞典数学家Helge von Koch证明出，假设黎曼猜想成立，以上关系式误差项的估计可改进为
至于大O项的常数则还未知道。
[编辑] 初等证明
素数定理有些初等证明只需用数论的方法。第一个初等证明于1949年由匈牙利数学家保罗•艾狄胥和挪威数学家阿特利•西尔伯格合作得出。
在此之前一些数学家不相信能找出不需借助艰深数学的初等证明。像英国数学家哈代便说过素数定理必须以复分析证明，显出定理结果的“深度”。他认为只用到实数不足以解决某些问题，必须引进复数来解决。这是凭感觉说出来的，觉得一些方法比别的更高等也更厉害，而素数定理的初等证明动摇了这论调。Selberg－艾狄胥的证明正好表示，看似初等的组合数学，威力也可以很大。

trx

从上二文献的论说可知：质数定理π(x)~x/ln x是一个估算质数个数的公式。则式中的“~”符号是一估算符号，其义为‘接近’之意。
华罗庚大师对该式进行极限理论论说，是为了证实该式估算质数个数是较精密的。我们必须搞清这一因果关系！！！
此致对“~”符号认识不清的一切网友。

trx

在数学中，若两代数式（或数）值相等，则用“=” 符号；若两代数式（或数）值相互为四舍五入，则用“≈” 符号；若两代数式（或数）值不等，则用“＜”或“＞”等 符号；若两代数式（或数）值相近，则用“～” 符号。这是最基本的数学知识。
在上面各种式中，都存在有某些式可作极限问题的讨论。但有些网友把“～” 符号称定为极限符号，那么可作极限问题讨论的所有式子不就都要用“～” 符号去表达吗？显然把“～” 符号称定为极限符号是极其荒唐的！！！
还有有的网友只把作极限问题讨论的方式称为“数学分析”，那么对一代数式作数学其它方面的深入分析讨论就不叫“数学分析”了吗？？？显然这是一知半解的荒唐之言！！！
再致某些网友。

trx

fleurly,请你再说次“～” 符号的定义？？？！！！

熊一兵

见<概率素数论>"3. 1.2 自然数素数个数精确计算法"中的有关资料:

熊一兵

fleurly

trx:
既然你说华罗庚说什么什么， 你还查维基百科， 那看来你是接受教材了？
那问你一个问题， 你有没有看过数论的教材？
在数论教材中， 你仔细看看“素数分布”和“素数定理”的相关章节， 看看证明过程!
估计你也看不懂。 连最基本的数学知识都不懂， 还妄图讨论素数定理？

fleurly

你再睁大眼睛看看， 你引用的那篇文章哪里说～是估计了？
拜托你每次说什么东西之前， 先把你的论据给研究清楚了！！！

trx

fleurly ，你不要老不认输！！！
本人的论据请阅楼1，楼2，楼3之论说！！
请把你的根据帖出！！！！

fleurly

懒得再跟你争论了， 对牛弹琴，
不懂极限， 不懂数论， 还妄图谈论素数定理？
如果你非得看维基百科， 可以给你一处连接， 看看~是等价还是估计
真是对牛弹琴