【趣题征解】设 n 是大于 1 的正整数，证明： 1+1/2+1/3+…+1/n 不可能是整数。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/09/29 08:51pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】设 n 是大于 1 的正整数，证明： 1+1/2+1/3+…+1/n 不可能是整数。

技术员

下面引用由luyuanhong在 2009/09/29 08:49pm 发表的内容：
【趣题征解】设 n 是大于 1 的正整数，证明： 1+1/2+1/3+…+1/n 不可能是整数。

整数的定义是n MOD 10>=1,陆教授，对不对呢？

luyuanhong

下面引用由技术员在 2009/09/29 09:09pm 发表的内容：
整数的定义是n MOD 10>=1,陆教授，对不对呢？

这个定义显然不对。例如 0 是整数，但是 0 MOD 10 = 0 ，并不满足 n MOD 10 >=1 的条件。
整数是由 0 逐次加 1 、或由 0 逐次减 1 得到的数，即 …，-3，-2，-1，0，1，2，3，… 这样的数。

技术员

我错了，陆教授，能不能给整数公式化的定义呢？

luyuanhong

下面引用由技术员在 2009/09/29 10:26pm 发表的内容： 我错了，陆教授，能不能给整数公式化的定义呢？

假如要用一个数学式子来定义整数，也很容易，例如： x 是整数 <==> ［x］＝x 。（其中符号 ［］表示向下取整。） 其实，整数是大家都知道的数学中的基本概念，根本用不着用一个数学式子来定义它，反而是许多数学式子要用整数来定义。

申一言

下面引用由luyuanhong在 2009/09/29 10:50pm 发表的内容： 假如要用一个数学式子来定义整数，也很容易，例如： x 是整数 <==> ［x］＝x 。（其中符号 ［］表示向下取整。） 其实，整数是大家都知道的数学中的基本概念，根本用不着用一个数学式子来定义它，反而是许 ...

数学好玩! 整数好玩!

Bardo

假如:用通分求前N项的和,则
前N项分母则是N!
设前N-1项的分子是K,则前N项的和的分子是:K*N+1
显然, K*N+1/N!
那么,接下来, 我要请教陆教授: 用数学归纳法, 是否就可以证明, 1+1/2+1/3+…+1/n 不可能是整数。

申一言

   如果大家能理解
     1    n
   n*-- =---*1=1^2=1"(■) 是正整数(单位元),那么马上就可以理解上式不是整数.
     n    n
    因为 1+(1/2+1/3+1/4+,,,+1/n),  当n→∞时
         lim∑(1/n)=1
         n→∞
   因此lim[1+(1/2+1/3+1/4+,,,+1/n)]=2';(基本单位,线段)
      n→∞
   而 lim(n∑1/n)=1" (正整数)
     n→∞
   因此 1+1/2+1/3+1/4+,,,+1/n, n是大于1的正整数时 不可能是整数!
      注:由于鄙人的关于数的概念与陆教授的不一样,因此证明的不一定对.
         个人见解,仅供参考!
                                                  谢谢!

moranhuishou

此题之证明应该不难：思路——
考虑证明1+1/2+1/3+…+1/n =k/m.恒有（k，m）=1.
用数学归纳法，当n=1,2,3时互质成立，假设当n=n0时亦互质成立，使
k0/m0+1/（n0+1）,通分，计算，判定
得（k1，m1）=1
即可。
（详细表述会繁琐一点）

changbaoyu

摘：陆教授，能不能给整数公式化的定义呢？ 例如： x 是整数 <==> ［x］＝x 。（其中符号 ［］表示向下取整。） 例如： （其中符号 ［］表示向下取整。）问是否绝对值概念的升级？！想学一通百通的数学。哈哈。可笑吧。不可笑！大庆油田一张照片机蜜泄开无知＝＞中国心自強不息神舟上天例近观！？好朋友尽管谁是谁·全息是自已。