【趣题征解】已知整数 a,b,c,d 满足 ab=cd，证明 a^2+b^2+c^2+d^2 是合数。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/03 05:36pm 第 1 次编辑]

【趣题征解】已知整数 a,b,c,d 满足 ab=cd，证明 a^2+b^2+c^2+d^2 是合数。

入森九分

【趣题征解】已知整数 a,b,c,d 满足 ab=cd，证明 a^2+b^2+c^2+d^2 是合数。
解：（第一类）a.b.c.d中有偶数，易证a^2+b^2+c^2+d^2也是偶数，所以是合数。
    （第一类）a.b.c.d中没有偶数，易证a^2+b^2+c^2+d^2也是偶数，所以是合数。
       --随风潜入夜，润物细无声--[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 入森九分 在 时添加 -=-=-=-=-
更正后面的那个是（第二类）

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/03 05:41pm 第 1 次编辑]

下面引用由入森九分在 2009/10/03 04:24pm 发表的内容：
解：（第一类）a.b.c.d中有偶数，易证a^2+b^2+c^2+d^2也是偶数，所以是合数。
...

这种说法不一定成立，举个反例： a=4 ，b=9 ，c=6 ，d=6 ，有 ab=cd ，但 a^2+b^2+c^2+d^2 不是偶数。

JIMDJ

虽然不会，但还是想问问？有没有物资或金钱上的意思，意思！

guanchunhe

解;若a,b均为奇数，那么c,d也必然均为奇数，于是
a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b)^2-2ab+(c+d)^2-2cd
右式必为偶数，所以一定是合数。
同理，若a,b一奇一偶，也会推得同样结果。
同理，若a,b 均为偶数，也会推得同样结果。

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/04 11:10am 第 1 次编辑]

下面引用由guanchunhe在 2009/10/04 10:01am 发表的内容：
解;若a,b均为奇数，那么c,d也必然均为奇数，于是
a^2+b^2+c^2+d^2=(a+b)^2-2ab+(c+d)^2-2cd
右式必为偶数，所以一定是合数。
同理，若a,b一奇一偶，也会推得同样结果。
...

这种说法不一定成立，举个反例： a=4 ，b=9 ，c=6 ，d=6 ，有 ab=cd ，但 a^2+b^2+c^2+d^2 不是偶数。

kanyikan

当n≥2时，a^m+b^m+c^m+d^m也是合数。

kanyikan

证明：
令(a,c)=p，于是：
a=pq　　　　　......(A)
c=pr　　　　　......(B)
并且(q,r)=1    ......(1)
(A)、(B)代入ab=cd得，
pqb=prd，
即qb=rd        ......(2)
由(1),(2)知，
q|d，
令d=qs　　　　......(C)
(2)变为qb=rqs
即b=rs　　　　......(D)
(A)、(B)、(C)、(D)代入a^m+b^m+c^m+d^m得，
  a^m+b^m+c^m+d^m
＝(pq)^m+(rs)^m+(pr)^m+(qs)^m
＝(p^m+s^m)(q^m+r^m)
为合数。■

luyuanhong

楼上 kanyikan 的证明很好，这才是正确的答案！

195912

        题:已知整数a、b、c、d满足
               ab=cd
        证明    a^2+b^2+c^2+d^2 是合数.
        证明   当
              a=0,b=1,c=0,d=2
              0^2+1^2+0^2+2^2=5
              所以,命题为伪命题.
         原命题应改述为
       题:非0整数a、b、c、d满足ab=cd,证明a^2+b^2+c^2+d^2是合数.
       余按8楼的证明.