【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦，证明 AB 不可能平行于 CD

luyuanhong

[这个贴子最后由luyuanhong在 2009/10/06 11:14am 第 2 次编辑]

【趣题征解】已知 AB,CD 是闭曲线的两条长度最长的弦，证明 AB 不可能平行于 CD 。

moranhuishou

若AB平行于CD，则弦AD BC长于AB  CD ，与所设AB  CB为最长矛盾。

luyuanhong

下面引用由moranhuishou在 2009/10/05 01:25pm 发表的内容：
若AB平行于CD，则弦AD BC长于AB  CD ，与所设AB  CB为最长矛盾。

这个思路不错，但是，为什么“弦 AD BC 长于 AB  CD ”，必须要有详细的说明，这正是本题证明的关键。

moranhuishou

由于AB CD 为闭曲线上的两条最长平行线，实际上这两条线的长度只能是无限接近的，也就是如果连接AC=CD，这是一个无限接近矩形（长方形）的图形，所以其斜边之长度大于一边之长度.

luyuanhong

下面引用由moranhuishou在 2009/10/05 01:50pm 发表的内容：
由于AB CD 为闭曲线上的两条最长平行线，实际上这两条线的长度只能是无限接近的，也就是如果连接AC=CD，这是一个无限接近矩形（长方形）的图形，所以其斜边之长度大于一边之长度.

楼上的这一段“证明”，乱七八糟、似是而非、不知道在说些什么，完全不像一个严格的数学证明。
其实，这题应该用“反证法”来证明。
“反证法”的做法是：首先假设要证明的结论不成立，然后用逻辑推理，推导出矛盾，否定假设。
本题要证明的结论是：“AB 不可能平行于 CD ”，所以反证法提出的假设，就是：“假设 AB∥CD” 。
因为 AB ，CD 都是闭曲线的长度最长的弦，所以必有 AB＝CD（不是什么“长度只能是无限接近”）。
然后，从 AB∥CD 和 AB＝CD 可以推导出 ABCD 是一个平行四边形（不一定是“矩形（长方形）的图形”）。
再下一步，可以推导出平行四边形的两条对角线 AC 、BD 中，必有一条对角线长度大于 AB 和 CD
（怎么推导出这个结论？这也是证明的一个关键，是不能一句话带过的，具体的证明过程，留给大家思考。）
因为对角线也是闭曲线的弦，所以就有一条弦长度大于 AB 和 CD ，与“ AB ，CD 是长度最长的弦”发生矛盾，
所以，反证法提出的假设“假设 AB∥CD”不能成立，所以，得出本题的结论：“AB 不可能平行于 CD ”。
以上这样的证明，才是严格的数学证明。

moranhuishou

下面引用由luyuanhong在 2009/10/06 09:28am 发表的内容：
楼上的这一段“证明”，乱七八糟、似是而非、不知道在说些什么，完全不像一个严格的数学证明。
其实，这题应该用“反证法”来证明。
“反证法”的做法是：首先假设要证明的结论不成立，然后用逻辑推理，推导出矛 ...

这样的说法仅仅表明了一个证明思路，谈不上什么规范严格。
对于此类题本不擅长所以也很少动手，时间久了连怎样表述也有点生疏。谢谢批评指出。

wangyangke

        如果闭曲线是 工 字形，主题是否都成立？

kanyikan

下面引用由luyuanhong在 2009/10/06 09:28am 发表的内容：
楼上的这一段“证明”，乱七八糟、似是而非、不知道在说些什么，完全不像一个严格的数学证明。
其实，这题应该用“反证法”来证明。
“反证法”的做法是：首先假设要证明的结论不成立，然后用逻辑推理，推导出矛 ...

把luyuanhong的证明补完整了。
平行四边形中，必有一对角线长度大于对边长度。
证明：设平行四边形ABCD，AC和BD为对角线。
由于∠DAB+∠ABC=180°
所以∠DAB和∠ABC中，必有一角不小于90°，
无妨设∠DAB≥90°，
则
BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cos(∠DAB)
      ≥AB^2+AD^2
      >AD^2
所以BD>AD。

luyuanhong

下面引用由kanyikan在 2009/10/06 10:33am 发表的内容：
把luyuanhong的证明补完整了。
平行四边形中，必有一对角线长度大于对边长度。
证明：设平行四边形 ABCD，AC 和 BD 为对角线。
由于 ∠DAB+∠ABC=180°
所以 ∠DAB 和 ∠ABC中，必有一角不小于90°，
无妨设 ∠DAB≥90°，
则 BD^2=AB^2+AD^2-2AB*AD*cos(∠DAB)≥AB^2+AD^2>AD^2
所以 BD>AD。

很好，楼上这样才是严格的证明（最好还要画一个图）。

luyuanhong

下面引用由wangyangke在 2009/10/06 10:22am 发表的内容：
如果闭曲线是 工 字形，主题是否都成立？

看看下面这个图：