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[求助】不等式

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发表于 2009-10-6 17:37 | 显示全部楼层 |阅读模式
设f(x)=ax^2+bx+c ,若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c属于R,使得不等式:x^2+1/2小于等于f(x)小于等于2x^2+2x+3/2对一切实数x都成立,证明你的结论。
发表于 2009-10-6 18:27 | 显示全部楼层

[求助】不等式

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/10/07 00:07am 第 2 次编辑]

先试一试
[br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 时添加 -=-=-=-=-
设f(x)=ax^2+bx+c ,若f(1)=7/2,
f(1)=a+b+c =7/2
c=7/2-a-b
已经用掉一个条件
1、2x^2+2x+3/2 = x^2+ 1/2 + x^2+2x+1 = x^2+ 1/2 +(x+1)^2
因此,由x^2+ 1/2 小于等于f(x)小于等于2x^2+2x+3/2 不必考虑 x 本身的范围

2、由于 f(x)=ax^2+bx+c 是二次抛物线曲线,x 轴两边的数值只取决于系数 a ,若要 f(x)小于等于2x^2+2x+3/2 对 x 轴两边的数值也成立,那么 a ≤2
同理,若要 x^2+ 1/2 小于等于f(x) 对 x 轴两边的数值也成立,那么 a ≥1
3、在范围  1 ≤a ≤2 取“等号=”时,并不能保证 对一切实数x都成立,
例如 a=2 时,f(x)小于等于2x^2+2x+3/2
2x^2+bx+c ≤2x^2+2x+3/2
x 的取值范围与 b 有关,与对一切实数x都成立冲突,即不能取“等号=”。同理也不能取 a=1
发表于 2009-10-6 18:35 | 显示全部楼层

[求助】不等式

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/10/07 01:36am 第 6 次编辑] x^2+1/2小于等于f(x) x^2+1/2 ≤ ax^2+bx+7/2-a-b (a-1)x^2+bx+3-a-b ≥0 因 (a-1)>0 ,两边除 (a-1),不等号保持原来的方向 x^2+ b/(a-1)* x + (3-a-b)/(a-1) ≥0 [x+b/(a-1)/2 ]^2- b^2/(a-1)^2 /4+(3-a-b)/(a-1) ≥0 对一切实数x都成立,只要 - b^2/(a-1)^2 /4+(3-a-b)/(a-1) ≥0 -b^2+4(a-1)(3-a)-4(a-1)b≥0 -[b+2(a-1)]^2+4(a-1)[(3-a)+(a-1)]≥0 -[b+2(a-1)]^2+8(a-1)≥0 b 可以有实根 [br][br][color=#990000]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 时添加 -=-=-=-=- 还有一个条件 f(x)小于等于2x^2+2x+3/2 ax^2+bx+7/2-a-b≤2x^2+2x+3/2 (a-2)x^2+(b-2)x+2-a-b ≤0 因 (a-2)<0 ,两边除 (a-2),不等号换方向 x^2+ (b-2)/(a-2) x +( 2-a-b)(a-2 )≥0 [x+(b-2)/(a-2)/2]^2 -(b-2)^2/(a-2)^2/4 +( 2-a-b)(a-2 )≥0 对一切实数x都成立只要 -(b-2)^2/(a-2)^2/4 +( 2-a-b)(a-2 )≥0 -[(b-2)/(a-2)/2+1]^2 +1-a/(a-2)≥0 -[(b-2)/(a-2)/2+1]^2 +2/(2-a)≥0 因 (a-2)<0 ,b 有实数根 最后再【检验】是否有重合区域 a=3/2 ,b=1,c=1 那么 f(x)-(2x^2+2x+3/2) =(-1/2)x^2-x-1/2 =(-1/2)(x^2+2x+1) =-(x+1)^1/2 ≤0 f(x)-(x^2+1/2) =x^2/2+x+1/2 =(x+1)^2/2 ≥0 这样的条件是存在的,例如 a=3/2 ,b=1,c=1
发表于 2009-10-6 19:38 | 显示全部楼层

[求助】不等式

>>>无实数根,些路不通!<<
发表于 2009-10-6 19:40 | 显示全部楼层

[求助】不等式

下面引用由申一言2009/10/06 07:38pm 发表的内容: >>>无实数根,些路不通!<<
【鉴定】和【评估】结论是:“无知者无畏”式的“蠢货”(申一言) 不是还没试完吗 ???[br][br]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 时添加 -=-=-=-=- 千万不要说:网上答题,有时间限制
发表于 2009-10-6 19:45 | 显示全部楼层

[求助】不等式

不是还没试完吗 ???点实成金成实点——  *啊!
发表于 2009-10-6 20:13 | 显示全部楼层

[求助】不等式

下面引用由申一言2009/10/06 07:38pm 发表的内容: >>>无实数根,些路不通!<<
让他多想想这样的问题,就不是大白痴了。
发表于 2009-10-6 21:36 | 显示全部楼层

[求助】不等式

[这个贴子最后由ygq的马甲在 2009/10/06 09:51pm 第 3 次编辑]

【思路】有问题,重新来过。
[br][br][color=&#35;990000]-=-=-=-=- 以下内容由 ygq的马甲 时添加 -=-=-=-=-
设f(x)=ax^2+bx+c ,若f(1)=7/2,
f(1)=a+b+c =7/2
c=7/2-a-b
已经用掉一个条件

x^2+1/2小于等于f(x)小于等于2x^2+2x+3/2对一切实数x都成立,
2x^2+2x+3/2=x^2+1/2+x^2+2x+1=x^2+1/2+(x+1)^2
因此 x 本身是不受这两个边界的影响的
由于 f(x)=ax^2+bx+c 是二次抛物线曲线,其开口方向决定了 x 轴两边的数值
由 f(x)小于等于2x^2+2x+3/2 ,对一切实数x都成立,那么 a≤2
由 x^2+1/2小于等于f(x) ,对一切实数x都成立,那么 a ≥1
发表于 2009-10-7 01:39 | 显示全部楼层

[求助】不等式

最后再【检验】是否有重合区域
a=3/2 ,b=1,c=1
那么 f(x)-(2x^2+2x+3/2)
=(-1/2)x^2-x-1/2
=(-1/2)(x^2+2x+1)
=-(x+1)^1/2
≤0
f(x)-(x^2+1/2)
=x^2/2+x+1/2
=(x+1)^2/2
≥0
这样的条件是存在的,例如 a=3/2 ,b=1,c=1
发表于 2009-10-7 01:45 | 显示全部楼层

[求助】不等式

这个题目有那么难吗?...
f(x)=3/2x^2+x+1
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\times\cdot\ast\div\pm\mp\circ\backslash\oplus\ominus\otimes\odot\bullet\varnothing\neq\equiv\not\equiv\sim\approx\simeq\cong\geq\leq\ll\gg\succ\prec\in\ni\cup\cap\subset\supset\not\subset\not\supset\notin\not\ni\subseteq\supseteq\nsubseteq\nsupseteq\sqsubset\sqsupset\sqsubseteq\sqsupseteq\sqcap\sqcup\wedge\vee\neg\forall\exists\nexists\uplus\bigsqcup\bigodot\bigotimes\bigoplus\biguplus\bigcap\bigcup\bigvee\bigwedge
\because\therefore\angle\parallel\perp\top\nparallel\measuredangle\sphericalangle\diamond\diamondsuit\doteq\propto\infty\bowtie\square\smile\frown\bigtriangledown\triangle\triangleleft\triangleright\bigcirc \wr\amalg\models\preceq\mid\nmid\vdash\dashv\nless\ngtr\ldots\cdots\vdots\ddots\surd\ell\flat\sharp\natural\wp\clubsuit\heartsuit\spadesuit\oint\lfloor\rfloor\lceil\rceil\lbrace\rbrace\lbrack\rbrack\vert\hbar\aleph\dagger\ddagger

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